Probabilidad y Estadística 2009 Andalucia
Probabilidad condicionada y distribución normal de la media muestral
EJERCICIO 3
Parte I
Una encuesta realizada por un banco muestra que el 60% de sus clientes tiene un préstamo hipotecario, el 50% tiene un préstamo personal y el 20% tiene un préstamo de cada tipo. Se elige, al azar, un cliente de ese banco.
a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.
b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamo personal.
Parte II
El cociente intelectual de los alumnos de un centro educativo se distribuye según una ley Normal de media 110 y desviación típica 15. Se extrae una muestra aleatoria simple de 25 alumnos.
a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa muestra sea superior a 113?
b) (0.5 puntos) Razone cómo se vería afectada la respuesta a la pregunta anterior si el tamaño de la muestra aumentase.
Paso 1
Definición de sucesos y organización de datos (Parte I)
**a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no tenga ninguno de los dos préstamos.**
Primero, definimos los sucesos principales a partir del enunciado:
- $H$: El cliente tiene un préstamo hipotecario.
- $P$: El cliente tiene un préstamo personal.
Los datos proporcionados son:
- $P(H) = 0.60$
- $P(P) = 0.50$
- $P(H \cap P) = 0.20$ (ambos tipos)
Para visualizar mejor la situación, podemos construir una **tabla de contingencia** (o de doble entrada). Sabiendo que el total es 1 (o 100%):
$$\begin{array}{c|cc|c}
& P & \bar{P} & \text{Total} \\
\hline
H & 0.20 & 0.40 & 0.60 \\
\bar{H} & 0.30 & 0.10 & 0.40 \\
\hline
\text{Total} & 0.50 & 0.50 & 1.00
\end{array}$$
💡 **Tip:** Para rellenar la tabla, restamos los valores conocidos de los totales. Por ejemplo: $P(H \cap \bar{P}) = P(H) - P(H \cap P) = 0.60 - 0.20 = 0.40$.
Paso 2
Cálculo de la probabilidad de no tener ningún préstamo
Nos piden la probabilidad de que no tenga hipotecario Y no tenga personal, es decir, $P(\bar{H} \cap \bar{P})$.
Utilizando las leyes de De Morgan:
$$P(\bar{H} \cap \bar{P}) = P(\overline{H \cup P}) = 1 - P(H \cup P)$$
Calculamos primero la unión (tener al menos uno):
$$P(H \cup P) = P(H) + P(P) - P(H \cap P)$$
$$P(H \cup P) = 0.60 + 0.50 - 0.20 = 0.90$$
Ahora, la probabilidad buscada es:
$$P(\bar{H} \cap \bar{P}) = 1 - 0.90 = 0.10$$
(Este valor también se observa directamente en nuestra tabla de contingencia en la intersección de $\bar{H}$ y $\bar{P}$).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{H} \cap \bar{P}) = 0.10}$$
Paso 3
Probabilidad condicionada
**b) (1 punto) Calcule la probabilidad de que tenga un préstamo hipotecario, sabiendo que no tiene un préstamo personal.**
Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(H | \bar{P})$.
La fórmula de la probabilidad condicionada es:
$$P(H | \bar{P}) = \frac{P(H \cap \bar{P})}{P(\bar{P})}$$
Calculamos los componentes:
1. $P(\bar{P}) = 1 - P(P) = 1 - 0.50 = 0.50$
2. $P(H \cap \bar{P})$ es la probabilidad de tener hipotecario pero no personal: $P(H) - P(H \cap P) = 0.60 - 0.20 = 0.40$
Sustituimos en la fórmula:
$$P(H | \bar{P}) = \frac{0.40}{0.50} = 0.8$$
💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ representa la probabilidad de que ocurra $A$ restringiendo nuestro universo solo a los casos donde ocurre $B$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(H | \bar{P}) = 0.8}$$
Paso 4
Distribución de la media muestral (Parte II)
**a) (1.5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que la media del cociente intelectual de los alumnos de esa muestra sea superior a 113?**
Datos de la población:
- Variable $X$: Cociente intelectual.
- Distribución: $X \sim N(\mu, \sigma) = N(110, 15)$.
Datos de la muestra:
- Tamaño: $n = 25$.
La distribución de la media muestral $\bar{X}$ sigue una distribución normal con la misma media que la población y una desviación típica (error estándar) igual a $\frac{\sigma}{\sqrt{n}}$:
$$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$
$$\bar{X} \sim N\left(110, \frac{15}{\sqrt{25}}\right) = N\left(110, \frac{15}{5}\right) = N(110, 3)$$
💡 **Tip:** El Teorema del Límite Central nos asegura que, si la población es normal, la media muestral también lo es, independientemente del tamaño de $n$. Si la población no fuera normal, necesitaríamos $n \ge 30$.
$$\boxed{\bar{X} \sim N(110, 3)}$$
Paso 5
Tipificación y cálculo de la probabilidad
Queremos calcular $P(\bar{X} \gt 113)$. Para ello, tipificamos la variable a una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma_{\bar{x}}}$:
$$P(\bar{X} \gt 113) = P\left(Z \gt \frac{113 - 110}{3}\right) = P\left(Z \gt \frac{3}{3}\right) = P(Z \gt 1)$$
Como las tablas de la normal suelen dar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, usamos el suceso complementario:
$$P(Z \gt 1) = 1 - P(Z \le 1)$$
Consultando la tabla de la distribución $N(0, 1)$ para el valor $z = 1.00$, obtenemos $0.8413$:
$$P(\bar{X} \gt 113) = 1 - 0.8413 = 0.1587$$
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(\bar{X} \gt 113) = 0.1587}$$
Paso 6
Efecto del tamaño de la muestra
**b) (0.5 puntos) Razone cómo se vería afectada la respuesta a la pregunta anterior si el tamaño de la muestra aumentase.**
Si el tamaño de la muestra $n$ aumenta, la desviación típica de la media muestral, $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, **disminuye**.
Esto significa que la campana de Gauss de la distribución de $\bar{X}$ se vuelve más estrecha y alta alrededor de la media (110). Al estar los datos más concentrados cerca de la media, la probabilidad de encontrar una media muestral alejada (como 113 o superior) se hace **menor**.
Analíticamente:
Si $n \uparrow \implies \sigma_{\bar{x}} \downarrow \implies Z = \frac{113-110}{\sigma_{\bar{x}}} \uparrow$.
Al aumentar el valor de $Z$, la probabilidad a su derecha, $P(Z \gt z)$, disminuye.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{\text{La probabilidad disminuiría.}}$$