Programación lineal: Región factible y optimización

**a) (2.5 puntos) Represente la región definida por las siguientes inecuaciones y determine sus vértices: $x + 3y \le 12$; $\frac{x}{3} + \frac{y}{5} \ge 1$; $y \ge 1$; $x \ge 0$.** Para representar la región factible, primero transformamos las inecuaciones en ecuaciones de rectas para dibujar sus fronteras: 1. $r_1: x + 3y = 12$ Si $x=0 \implies 3y=12 \implies y=4$. Punto $(0, 4)$. Si $y=0 \implies x=12$. Punto $(12, 0)$. 2. $r_2: \frac{x}{3} + \frac{y}{5} = 1$. Multiplicando por 15 para quitar denominadores: $5x + 3y = 15$. Si $x=0 \implies 3y=15 \implies y=5$. Punto $(0, 5)$. Si $y=0 \implies 5x=15 \implies x=3$. Punto $(3, 0)$. 3. $r_3: y = 1$ (Recta horizontal). 4. $r_4: x = 0$ (Eje de ordenadas $Y$). 💡 **Tip:** Para saber qué lado de la recta cumple la inecuación, prueba con el punto $(0,0)$. Por ejemplo, en $x+3y \le 12$, $0+0 \le 12$ es cierto, por lo que la región contiene al origen.

A continuación, sombreamos la intersección de los semiplanos definidos por las inecuaciones. La región es el recinto cerrado (polígono) donde se cumplen todas las condiciones simultáneamente.

Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones de las rectas que se cortan en las esquinas de la región: * **Vértice A:** Intersección de $r_1$ y $r_2$. $$\begin{cases} x + 3y = 12 \\ 5x + 3y = 15 \end{cases}$$ Restando las ecuaciones: $(5x - x) = 15 - 12 \implies 4x = 3 \implies x = 0.75$. Sustituyendo $x$: $0.75 + 3y = 12 \implies 3y = 11.25 \implies y = 3.75$. **$A(0.75, 3.75)$** * **Vértice B:** Intersección de $r_1$ y $r_3$. $$\begin{cases} x + 3y = 12 \\ y = 1 \end{cases} \implies x + 3(1) = 12 \implies x = 9.$$ **$B(9, 1)$** * **Vértice C:** Intersección de $r_2$ y $r_3$. $$\begin{cases} 5x + 3y = 15 \\ y = 1 \end{cases} \implies 5x + 3(1) = 15 \implies 5x = 12 \implies x = 2.4.$$ **$C(2.4, 1)$** Notamos que la restricción $x \ge 0$ se cumple para todos ellos, y no hay intersecciones válidas sobre el eje $Y$ dentro de los límites de las otras inecuaciones. ✅ **Resultado (Vértices):** $$\boxed{A(0.75, 3.75), \; B(9, 1), \; C(2.4, 1)}$$

**b) (0.5 puntos) Calcule los valores extremos de la función $F(x,y) = 5x + 15y$ en dicha región y dónde se alcanzan.** Evaluamos la función objetivo $F(x,y)$ en cada uno de los vértices calculados: * $F(A) = F(0.75, 3.75) = 5(0.75) + 15(3.75) = 3.75 + 56.25 = 60$ * $F(B) = F(9, 1) = 5(9) + 15(1) = 45 + 15 = 60$ * $F(C) = F(2.4, 1) = 5(2.4) + 15(1) = 12 + 15 = 27$ 💡 **Tip:** Si la función alcanza el mismo valor máximo en dos vértices contiguos, significa que se alcanza el máximo en todos los puntos del segmento que los une. Observamos que el valor máximo es **60** y se alcanza tanto en $A$ como en $B$. Dado que la función objetivo $F(x,y) = 5(x+3y)$ es proporcional a la recta frontera $x+3y=12$, el máximo se alcanza en todo el segmento. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} \text{Máximo: } & 60 \text{ en todos los puntos del segmento } AB \\ \text{Mínimo: } & 27 \text{ en el punto } C(2.4, 1) \end{aligned}}$$