Estudio de una función: Monotonía, Curvatura y Recta Tangente

**a) (1.5 puntos) Obtenga los intervalos de monotonía de la función $f$ y los valores de $x$ en los que dicha función alcanza sus extremos locales.** Para estudiar la monotonía de $f$, debemos analizar el signo de su primera derivada $f'(x)$. Los puntos donde la derivada es cero son los candidatos a ser extremos locales (puntos críticos). Igualamos la derivada a cero: $$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 0$$ Podemos simplificar la ecuación dividiendo por $3$: $$x^2 - 4x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos los valores: $$x_1 = \frac{4+2}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{4-2}{2} = 1$$ 💡 **Tip:** Los puntos críticos dividen la recta real en intervalos donde el signo de la derivada es constante. Comprobando un valor dentro de cada intervalo sabremos si la función crece o decrece.

Analizamos el signo de $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$ en los intervalos definidos por $x=1$ y $x=3$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 1)$, tomamos $x=0$: $f'(0) = 9 \gt 0 \implies$ **Creciente**. - En $(1, 3)$, tomamos $x=2$: $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \lt 0 \implies$ **Decreciente**. - En $(3, +\infty)$, tomamos $x=4$: $f'(4) = 3(16) - 48 + 9 = 9 \gt 0 \implies$ **Creciente**. Por el criterio de la primera derivada: - En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo local**. - En $x = 3$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo local**. ✅ **Resultado (Monotonía y extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Creciente en: } (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) \\ &\text{Decreciente en: } (1, 3) \\ &\text{Máximo local en } x = 1, \text{ Mínimo local en } x = 3 \end{aligned}}$$

**b) (0.75 puntos) Determine los intervalos de concavidad y convexidad de la función $f$.** Para estudiar la curvatura, calculamos la segunda derivada $f''(x)$ partiendo de $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$: $$f''(x) = (3x^2 - 12x + 9)' = 6x - 12$$ Buscamos los puntos de inflexión igualando a cero: $$6x - 12 = 0 \implies 6x = 12 \implies x = 2$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ en los intervalos alrededor de $x=2$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \cap \text{ (Cóncava)} & \text{P.I.} & \cup \text{ (Convexa)} \end{array}$$ - En $(-\infty, 2)$, tomamos $x=0$: $f''(0) = -12 \lt 0 \implies$ **Cóncava (o cóncava hacia abajo)**. - En $(2, +\infty)$, tomamos $x=3$: $f''(3) = 6(3) - 12 = 6 \gt 0 \implies$ **Convexa (o cóncava hacia arriba)**. 💡 **Tip:** Recuerda que el criterio estándar suele llamar convexa a la forma de "U" ($f''(x) \gt 0$) y cóncava a la forma de campana ($f''(x) \lt 0$). ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Cóncava en: } (-\infty, 2) \\ &\text{Convexa en: } (2, +\infty) \end{aligned}}$$

**c) (0.75 puntos) Sabiendo que la gráfica de $f$ pasa por el punto $(2, 5)$, calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en dicho punto.** La ecuación de la recta tangente a $f$ en el punto $(a, f(a))$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, el punto es $(2, 5)$, por lo que: - $a = 2$ - $f(2) = 5$ Necesitamos la pendiente $m$, que es el valor de la derivada en el punto de tangencia: $$m = f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9$$ $$m = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$$ Sustituimos en la fórmula punto-pendiente: $$y - 5 = -3(x - 2)$$ Simplificamos la expresión: $$y - 5 = -3x + 6$$ $$y = -3x + 11$$ 💡 **Tip:** No olvides que el enunciado ya te da el valor de $f(2)=5$, no necesitas integrar la función $f'(x)$ para hallarlo. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -3x + 11}$$