Probabilidad condicionada e Inferencia estadística

**Parte I** **a) (1 punto) ¿Cuál es la probabilidad de que dé positivo?** Primero, definimos los sucesos: - $E$: La persona tiene la enfermedad. - $\bar{E}$: La persona no tiene la enfermedad (está sana). - $+$: La prueba da resultado positivo. - $-$: La prueba da resultado negativo. Datos del enunciado: - $P(E) = 0.10 \implies P(\bar{E}) = 0.90$ - $P(+|E) = 0.98 \implies P(-|E) = 0.02$ - $P(+|\bar{E}) = 0.06 \implies P(-|\bar{E}) = 0.94$ Representamos el árbol de probabilidades:

Para hallar $P(+)$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Debemos sumar las probabilidades de todas las ramas que terminan en positivo: $$P(+) = P(E) \cdot P(+|E) + P(\bar{E}) \cdot P(+|\bar{E})$$ Sustituimos los valores: $$P(+) = 0.10 \cdot 0.98 + 0.90 \cdot 0.06$$ $$P(+) = 0.098 + 0.054$$ $$P(+) = 0.152$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(+) = 0.152}$$ (o equivalentemente, un 15.2%)

**b) (1 punto) Si no da positivo, ¿cuál es la probabilidad de que tenga la enfermedad?** Nos piden la probabilidad de que esté enfermo sabiendo que el resultado ha sido negativo: $P(E|-)$. Aplicamos el **Teorema de Bayes**. $$P(E|-) = \frac{P(E \cap -)}{P(-)} = \frac{P(E) \cdot P(-|E)}{P(-)}$$ Primero calculamos $P(-)$ como el suceso contrario de $P(+)$: $$P(-) = 1 - P(+) = 1 - 0.152 = 0.848$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(E|-) = \frac{0.10 \cdot 0.02}{0.848} = \frac{0.002}{0.848}$$ $$P(E|-) \approx 0.002358$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|-) \approx 0.00236}$$ (aproximadamente un 0.236%)

**Parte II** **a) (1 punto) Si la proporción de fumadores en la muestra es 0.2 y el error cometido en la estimación ha sido inferior a 0.03, con un nivel de confianza del 95%, calcule el tamaño mínimo de la muestra.** Datos: - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.2$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - 0.2 = 0.8$ - Margen de error: $E \lt 0.03$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.95$ 1. Hallamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Para el 95%, $\alpha = 0.05$, luego $\alpha/2 = 0.025$. Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$, obteniendo $z_{\alpha/2} = 1.96$. 2. Usamos la fórmula del error para la proporción: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Queremos que $E \lt 0.03$, por lo que despejamos $n$: $$0.03 \gt 1.96 \cdot \sqrt{\frac{0.2 \cdot 0.8}{n}}$$ $$\left( \frac{0.03}{1.96} \right)^2 \gt \frac{0.16}{n}$$ $$n \gt \frac{1.96^2 \cdot 0.16}{0.03^2}$$ $$n \gt \frac{3.8416 \cdot 0.16}{0.0009} = \frac{0.614656}{0.0009} \approx 682.95$$ 💡 **Tip:** Al pedir el tamaño mínimo para garantizar un error *inferior*, siempre debemos redondear hacia el siguiente entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 683 \text{ personas}}$$

**b) (1 punto) Si en otra muestra de tamaño 280 el porcentaje de fumadores es del 25%, determine, para un nivel de confianza del 99%, el correspondiente intervalo de confianza para la proporción de fumadores de esa población.** Datos: - Tamaño de muestra: $n = 280$ - Proporción muestral: $\hat{p} = 0.25 \implies \hat{q} = 0.75$ - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.99 \implies \alpha = 0.01$ 1. Hallamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para el 99%: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.005 = 0.995$. Mirando en las tablas, $z_{\alpha/2} \approx 2.575$ (o 2.58). 2. Calculamos el margen de error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{280}}$$ $$E = 2.575 \cdot \sqrt{\frac{0.1875}{280}} \approx 2.575 \cdot \sqrt{0.0006696} \approx 2.575 \cdot 0.025877 \approx 0.0666$$ 3. Construimos el intervalo $IC = (\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: $$IC = (0.25 - 0.0666, 0.25 + 0.0666)$$ $$IC = (0.1834, 0.3166)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{IC = (0.1834, 0.3166)}$$ (o expresado en porcentaje: entre el 18.34% y el 31.66%)