Operaciones con matrices y ecuaciones matriciales

**a) (1 punto) Calcule $A^2$ y $2B + I_2$.** Primero calculamos $A^2$, que es el producto de la matriz $A$ por sí misma: $$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1 $\times$ Columna 1: $(1)(1) + (-1)(0) = 1$ - Fila 1 $\times$ Columna 2: $(1)(-1) + (-1)(2) = -1 - 2 = -3$ - Fila 2 $\times$ Columna 1: $(0)(1) + (2)(0) = 0$ - Fila 2 $\times$ Columna 2: $(0)(-1) + (2)(2) = 4$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de las filas de la primera por los de las columnas de la segunda y sumamos los resultados. $$\boxed{A^2 = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}}$$

Ahora calculamos la expresión $2B + I_2$, donde $I_2$ es la matriz identidad de orden 2, $I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Primero multiplicamos la matriz $B$ por el escalar $2$: $$2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}$$ Sumamos la matriz identidad: $$2B + I_2 = \begin{pmatrix} 6 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+1 & 2+0 \\ -2+0 & 2+1 \end{pmatrix}$$ $$\boxed{2B + I_2 = \begin{pmatrix} 7 & 2 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}}$$

**b) (2 puntos) Resuelva la ecuación matricial $A \cdot X - I_2 = 2B^2$.** Antes de operar con los números, aislamos la matriz $X$ en la ecuación: 1. Sumamos $I_2$ en ambos lados: $$A \cdot X = 2B^2 + I_2$$ 2. Para despejar $X$, multiplicamos por la izquierda por la matriz inversa $A^{-1}$ (si existe): $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot (2B^2 + I_2)$$ $$(A^{-1} \cdot A) \cdot X = A^{-1} \cdot (2B^2 + I_2)$$ $$I_2 \cdot X = A^{-1} \cdot (2B^2 + I_2)$$ $$X = A^{-1} \cdot (2B^2 + I_2)$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes hacerlo también por la izquierda en el otro: $AX = C \implies X = A^{-1}C$.

Calculamos primero $B^2$: $$B^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(3)+1(-1) & 3(1)+1(1) \\ -1(3)+1(-1) & -1(1)+1(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos $2B^2 + I_2$: $$2B^2 = 2 \cdot \begin{pmatrix} 8 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ -8 & 0 \end{pmatrix}$$ $$2B^2 + I_2 = \begin{pmatrix} 16 & 8 \\ -8 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 & 8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$$

Calculamos $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot \text{Adj}(A)^t$. 1. Determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = (1)(2) - (-1)(0) = 2$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 2. Matriz de adjuntos $\text{Adj}(A)$: - $A_{11} = 2$ - $A_{12} = -(0) = 0$ - $A_{21} = -(-1) = 1$ - $A_{22} = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 3. Traspuesta de la adjunta: $$\text{Adj}(A)^t = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 4. Inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = A^{-1} \cdot (2B^2 + I_2)$: $$X = \begin{pmatrix} 1 & 1/2 \\ 0 & 1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 17 & 8 \\ -8 & 1 \end{pmatrix}$$ Operamos: - $x_{11} = (1)(17) + (1/2)(-8) = 17 - 4 = 13$ - $x_{12} = (1)(8) + (1/2)(1) = 8 + 0.5 = 8.5 = 17/2$ - $x_{21} = (0)(17) + (1/2)(-8) = -4$ - $x_{22} = (0)(8) + (1/2)(1) = 0.5 = 1/2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 13 & 17/2 \\ -4 & 1/2 \end{pmatrix}}$$