Cálculo de parámetros y recta tangente

**a) (1.5 puntos) Determine el valor de los parámetros $a$ y $b$ sabiendo que la función $f$ tiene un máximo en $x = 1$ y que $f(1) = 2$.** Para hallar los parámetros $a$ y $b$, debemos traducir los datos del enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. **Pasa por el punto (1, 2):** Esto significa que $f(1) = 2$. 2. **Tiene un máximo en $x = 1$:** Para que haya un extremo relativo (máximo o mínimo) en un punto donde la función es derivable, su primera derivada debe ser cero en ese punto. Es decir, $f'(1) = 0$. Calculamos primero la derivada genérica de $f(x) = ax^3 + bx^2 + x$: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $x^n$ es $nx^{n-1}$. Al derivar, tratamos a $a$ y $b$ como constantes.

Aplicamos las condiciones anteriores: - De $f(1) = 2$: $$a(1)^3 + b(1)^2 + 1 = 2 \implies a + b + 1 = 2 \implies a + b = 1$$ - De $f'(1) = 0$: $$3a(1)^2 + 2b(1) + 1 = 0 \implies 3a + 2b + 1 = 0 \implies 3a + 2b = -1$$ Tenemos un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas: $$\begin{cases} a + b = 1 \\ 3a + 2b = -1 \end{cases}$$ De la primera ecuación despejamos $b = 1 - a$ y sustituimos en la segunda: $$3a + 2(1 - a) = -1$$ $$3a + 2 - 2a = -1$$ $$a = -3$$ Ahora calculamos $b$: $$b = 1 - (-3) = 4$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que el punto es realmente un máximo usando la segunda derivada: $f''(x) = 6ax + 2b$. Si $a = -3$ y $b = 4$, entonces $f''(1) = 6(-3)(1) + 2(4) = -18 + 8 = -10$. Al ser negativa, confirmamos que es un máximo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -3, \quad b = 4}$$

**b) (1.5 puntos) Para $a = b = 1$, halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 0$.** Sustituimos los valores $a = 1$ y $b = 1$ en la función original: $$f(x) = x^3 + x^2 + x$$ Para hallar la ecuación de la recta tangente en $x = 0$, necesitamos dos elementos: 1. **El punto de tangencia:** Calculamos la imagen de $x = 0$. $$f(0) = 0^3 + 0^2 + 0 = 0$$ El punto es $(0, 0)$. 2. **La pendiente de la tangente ($m$):** Calculamos la derivada en $x = 0$. $$f'(x) = 3x^2 + 2x + 1$$ $$m = f'(0) = 3(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$$ 💡 **Tip:** La pendiente de la recta tangente a una curva en un punto es el valor de la derivada de la función en la abscisa de dicho punto.

Utilizamos la fórmula de la recta en forma punto-pendiente: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ Sustituyendo nuestros valores ($a=0$, $f(0)=0$, $f'(0)=1$): $$y - 0 = 1(x - 0)$$ $$y = x$$ La recta tangente es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x}$$