Probabilidad Total, Teorema de Bayes e Inferencia Estadística

**Parte I** **a) (1 punto) Calcule la probabilidad de que no sea defectuoso.** Primero, definimos los sucesos según el enunciado: - $A$: El libro ha sido encuadernado por la máquina A. - $B$: El libro ha sido encuadernado por la máquina B. - $D$: El libro tiene fallos de encuadernación (es defectuoso). - $\bar{D}$: El libro no tiene fallos (no es defectuoso). Calculamos las probabilidades de elegir un libro de cada máquina sobre el total de $100 + 900 = 1000$ libros: - $P(A) = \frac{100}{1000} = 0.1$ - $P(B) = \frac{900}{1000} = 0.9$ Las probabilidades condicionadas dadas son: - $P(D|A) = 0.02 \implies P(\bar{D}|A) = 0.98$ - $P(D|B) = 0.10 \implies P(\bar{D}|B) = 0.90$ Visualizamos la situación con un árbol de probabilidad:

Para hallar $P(\bar{D})$, utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**: $$P(\bar{D}) = P(A) \cdot P(\bar{D}|A) + P(B) \cdot P(\bar{D}|B)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(\bar{D}) = (0.1 \cdot 0.98) + (0.9 \cdot 0.90)$$ $$P(\bar{D}) = 0.098 + 0.81 = 0.908$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{D}) = 0.908}$$

**b) (1 punto) Si es defectuoso, halle la probabilidad de haber sido encuadernado por la máquina A.** Se nos pide calcular $P(A|D)$. Para ello usamos el **Teorema de Bayes**: $$P(A|D) = \frac{P(A \cap D)}{P(D)}$$ Primero necesitamos $P(D)$. Como sabemos que $P(\bar{D}) = 0.908$: $$P(D) = 1 - P(\bar{D}) = 1 - 0.908 = 0.092$$ Ahora aplicamos la fórmula: $$P(A|D) = \frac{P(A) \cdot P(D|A)}{P(D)}$$ $$P(A|D) = \frac{0.1 \cdot 0.02}{0.092} = \frac{0.002}{0.092}$$ Calculamos el valor decimal: $$P(A|D) \approx 0.0217$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A|D) = \frac{1}{46} \approx 0.0217}$$

**Parte II** **a) (1 punto) Calcule un intervalo de confianza, al nivel del 97%, para el tiempo medio que se tarda en cobrar a los clientes.** Datos del problema: - Distribución: $N(\mu, \sigma)$ con $\sigma = 0.5$. - Muestra: $n = 25$ clientes. - Media muestral: $\bar{x} = 5.2$ minutos. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.97$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.015$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$$ Buscando en la tabla de la Normal estándar $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.985$ es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media se calcula como $I.C. = \left( \bar{x} \pm z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$.

Calculamos el error máximo admisible $E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$: $$E = 2.17 \cdot \frac{0.5}{\sqrt{25}} = 2.17 \cdot \frac{0.5}{5} = 2.17 \cdot 0.1 = 0.217$$ El intervalo será: $$I.C. = (5.2 - 0.217, 5.2 + 0.217)$$ $$I.C. = (4.983, 5.417)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (4.983, 5.417)}$$

**b) (1 punto) Indique el tamaño muestral mínimo necesario para estimar dicho tiempo medio con un error máximo de 0.5 y un nivel de confianza del 96%.** Nuevos datos: - Error máximo: $E = 0.5$. - Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0.96$. - Desviación típica: $\sigma = 0.5$. Buscamos el nuevo valor crítico $z_{\alpha/2}$: $$1 - \alpha = 0.96 \implies \alpha = 0.04 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.02$$ $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.02 = 0.98$$ En la tabla de la Normal, para $0.98$, el valor más cercano es $z_{\alpha/2} = 2.05$ (o $2.055$ si interpolamos, usaremos $2.05$). La fórmula del tamaño muestral es: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos: $$n = \left( \frac{2.05 \cdot 0.5}{0.5} \right)^2 = (2.05)^2 = 4.2025$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **como máximo** $0.5$, debemos redondear siempre al alza. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo (como .2), siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 5 \text{ clientes}}$$