Continuidad, derivabilidad y asíntotas de una función a trozos

**a) (2 puntos) Analice la continuidad y la derivabilidad de la función en su dominio.** Antes de analizar la continuidad, observamos que la primera rama se puede simplificar para $x \neq 0$: $$\frac{x^2 + x}{x} = \frac{x(x + 1)}{x} = x + 1$$ Como esta rama está definida para $x \lt 0$, la simplificación es válida en todo su intervalo. Así, la función puede escribirse como: $$f(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{si } x \lt 0 \\ x + 1 & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Esto nos indica que la función es, en realidad, $f(x) = x + 1$ para todo $x \in \mathbb{R}$. El **dominio** de la función es $\text{Dom}(f) = \mathbb{R}$, ya que la única posible restricción sería $x=0$ en la primera rama, pero el valor $x=0$ está incluido en la segunda rama donde la función es un polinomio. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Para analizar la continuidad, estudiamos las ramas por separado y el punto de salto $x = 0$: 1. **Intervalo $(-\infty, 0)$:** La función $f(x) = x + 1$ es una función polinómica, por lo que es continua en este intervalo. 2. **Intervalo $(0, +\infty)$:** La función $f(x) = x + 1$ es una función polinómica, continua en este intervalo. 3. **Punto $x = 0$:** - $f(0) = 0 + 1 = 1$ - $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} (x + 1) = 1$ - $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es **continua en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto $a$ si existe el valor de la función, el límite, y ambos coinciden. $$\boxed{f(x) \text{ es continua en } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} (x+1)' = 1 & \text{si } x \lt 0 \\ (x+1)' = 1 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Para estudiar la derivabilidad en $x = 0$, comparamos las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(0^-) = 1$ - Derivada por la derecha: $f'(0^+) = 1$ Como $f(x)$ es continua en $x=0$ y las derivadas laterales coinciden ($f'(0^-) = f'(0^+) = 1$), la función es **derivable en $x = 0$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto. $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \text{ con } f'(x) = 1}$$

**b) (0.5 puntos) Determine la asíntota horizontal, si la tiene.** Para hallar las asíntotas horizontales, calculamos los límites de la función cuando $x$ tiende a infinito y a menos infinito: $$\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} (x + 1) = +\infty$$ $$\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} (x + 1) = -\infty$$ Como ninguno de los límites es un valor real finito, la función no tiene asíntotas horizontales. 💡 **Tip:** Hay una asíntota horizontal $y = L$ si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$. $$\boxed{\text{No tiene asíntotas horizontales}}$$

**c) (0.5 puntos) Determine la asíntota vertical, si la tiene.** Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde la función no está definida (ceros del denominador que no se anulan con el numerador). En la primera rama, $\frac{x^2+x}{x}$, el denominador se anula en $x=0$. Sin embargo, ya hemos visto en el apartado (a) que: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1$$ Como el límite es finito, no hay una asíntota vertical en $x=0$. Dado que el dominio de la función es $\mathbb{R}$ y no hay otros puntos donde el denominador se anule o la función presente un crecimiento infinito, concluimos que no existen asíntotas verticales. 💡 **Tip:** Existe una asíntota vertical en $x = a$ si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$. $$\boxed{\text{No tiene asíntotas verticales}}$$