Probabilidad y Estadística: Crucero e Inferencia

**Parte I: Un turista que realiza un crucero tiene un 50% de probabilidad de visitar Cádiz, un 40% de visitar Sevilla y un 30% de visitar ambas ciudades.** En primer lugar, definimos los sucesos del enunciado: - $C$: "El turista visita Cádiz". - $S$: "El turista visita Sevilla". Los datos en términos de probabilidad son: - $P(C) = 0.50$ - $P(S) = 0.40$ - $P(C \cap S) = 0.30$ (probabilidad de que visite ambas) Podemos organizar la información en una tabla de contingencia para facilitar los cálculos de los apartados siguientes: $$\begin{array}{c|cc|c} & S & \bar{S} & \text{Total} \\\hline C & 0.30 & 0.20 & 0.50 \\ \bar{C} & 0.10 & 0.40 & 0.50 \\\hline \text{Total} & 0.40 & 0.60 & 1.00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** Para completar la tabla, recuerda que las filas y columnas deben sumar sus respectivos totales. Por ejemplo, $P(C \cap \bar{S}) = P(C) - P(C \cap S) = 0.50 - 0.30 = 0.20$.

**a) (0.5 puntos) Visite al menos una de las dos ciudades.** La expresión "al menos una" equivale a la unión de los sucesos ($C \cup S$). Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(C \cup S) = P(C) + P(S) - P(C \cap S)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(C \cup S) = 0.50 + 0.40 - 0.30 = 0.60$$ 💡 **Tip:** La probabilidad de la unión siempre resta la intersección para no contar dos veces el caso en el que ocurren ambos sucesos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cup S) = 0.60}$$

**b) (0.5 puntos) Visite únicamente una de las dos ciudades.** Este suceso ocurre si visita Cádiz y no Sevilla ($C \cap \bar{S}$), o si visita Sevilla y no Cádiz ($\bar{C} \cap S$). Gráficamente es la unión menos la intersección: $$P(\text{únicamente una}) = P(C \cup S) - P(C \cap S)$$ Sustituimos los datos: $$P(\text{únicamente una}) = 0.60 - 0.30 = 0.30$$ También podíamos haber sumado los valores de la tabla: $0.20 + 0.10 = 0.30$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\text{únicamente una}) = 0.30}$$

**c) (0.5 puntos) Visite Cádiz pero no visite Sevilla.** Buscamos la probabilidad del suceso $C \cap \bar{S}$ (Cádiz y el complementario de Sevilla). Calculamos restando a la probabilidad de Cádiz la de la intersección: $$P(C \cap \bar{S}) = P(C) - P(C \cap S)$$ $$P(C \cap \bar{S}) = 0.50 - 0.30 = 0.20$$ Este valor ya lo habíamos calculado al construir nuestra tabla de contingencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(C \cap \bar{S}) = 0.20}$$

**d) (0.5 puntos) Visite Sevilla, sabiendo que ha visitado Cádiz.** Se trata de una probabilidad condicionada. Queremos hallar $P(S | C)$. Usamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(S | C) = \frac{P(S \cap C)}{P(C)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(S | C) = \frac{0.30}{0.50} = 0.60$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. El suceso que "se sabe" o ya ha ocurrido siempre va en el denominador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(S | C) = 0.60}$$

**Parte II - a) (1 punto) Se eligieron, al azar, 16 coches del taller y se comprobó que, entre todos, estuvieron 136 horas en reparación. Determine un intervalo de confianza, al 98.5%, para la media del tiempo que permanecen los coches en ese taller.** Datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 16$ - Desviación típica poblacional: $\sigma = 4$ - Suma de tiempos: $\sum x_i = 136$ - Media muestral: $\bar{x} = \frac{136}{16} = 8.5$ horas. Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.985$: 1. Calculamos $\alpha = 1 - 0.985 = 0.015$. 2. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.0075 = 0.9925$. 3. En la tabla de la Normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a $0.9925$ es $z_{\alpha/2} = 2.43$. Fórmula del intervalo de confianza: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admitido: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.43 \cdot \frac{4}{\sqrt{16}} = 2.43 \cdot \frac{4}{4} = 2.43$$ El intervalo es: $$I.C. = (8.5 - 2.43, 8.5 + 2.43) = (6.07, 10.93)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (6.07, 10.93)}$$

**b) (1 punto) Determine el tamaño mínimo que debe tener una muestra que permita estimar la media con un error en la estimación no superior a una hora y media y con el mismo nivel de confianza.** Datos: - Error máximo permitido: $E \le 1.5$ - Nivel de confianza: $98.5\% \implies z_{\alpha/2} = 2.43$ - Desviación típica: $\sigma = 4$ La fórmula del error es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 1.5$, por lo que despejamos $n$: $$1.5 \ge 2.43 \cdot \frac{4}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} \ge \frac{2.43 \cdot 4}{1.5}$$ $$\sqrt{n} \ge \frac{9.72}{1.5} = 6.48$$ $$n \ge (6.48)^2 = 41.9904$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, tomamos el primer entero superior. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea pequeño, siempre se redondea hacia arriba para garantizar que el error sea **menor o igual** al solicitado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 42 \text{ coches}}$$