Programación lineal: optimización en un recinto

**a) (1.5 puntos) Dibuje el recinto definido por las siguientes restricciones: $x + y \ge 2, \quad x - y \le 0, \quad y \le 4, \quad x \ge 0$.** Para dibujar el recinto (región factible), primero transformamos las desigualdades en ecuaciones de rectas para hallar sus fronteras: 1. $r_1: x + y = 2$. Puntos de corte: $(2, 0)$ y $(0, 2)$. 2. $r_2: x - y = 0$ (o $y = x$). Puntos: $(0, 0)$ y $(4, 4)$. 3. $r_3: y = 4$. Recta horizontal que pasa por $y=4$. 4. $r_4: x = 0$. Eje de ordenadas ($Y$). Determinamos el semiplano de cada restricción probando con un punto, por ejemplo el $(1, 2)$: - $1+2 \ge 2 \implies 3 \ge 2$ (Verdadero). - $1-2 \le 0 \implies -1 \le 0$ (Verdadero). - $2 \le 4$ (Verdadero). - $1 \ge 0$ (Verdadero). 💡 **Tip:** Si el punto $(0,0)$ no pertenece a la recta, es el más fácil de probar. Si la recta pasa por el origen (como $x-y=0$), elige un punto como $(1,0)$ o $(0,1)$.

Calculamos los puntos de intersección de las rectas que limitan el recinto: - **Vértice A** ($r_1 \cap r_2$): $\begin{cases} x+y=2 \\ x-y=0 \end{cases} \implies 2x=2 \implies x=1, y=1$. **$A(1, 1)$** - **Vértice B** ($r_2 \cap r_3$): $\begin{cases} x-y=0 \\ y=4 \end{cases} \implies x=4, y=4$. **$B(4, 4)$** - **Vértice C** ($r_3 \cap r_4$): $\begin{cases} y=4 \\ x=0 \end{cases} \implies x=0, y=4$. **$C(0, 4)$** - **Vértice D** ($r_4 \cap r_1$): $\begin{cases} x=0 \\ x+y=2 \end{cases} \implies x=0, y=2$. **$D(0, 2)$** El recinto es el cuadrilátero de vértices $A, B, C, D$.

**b) (1 punto) Determine el máximo y el mínimo de la función $F(x,y) = x + y$ en el recinto anterior y los puntos donde se alcanzan.** Evaluamos la función $F(x, y) = x + y$ en cada uno de los vértices del recinto: - En $A(1, 1): F(1, 1) = 1 + 1 = 2$. - En $B(4, 4): F(4, 4) = 4 + 4 = 8$. - En $C(0, 4): F(0, 4) = 0 + 4 = 4$. - En $D(0, 2): F(0, 2) = 0 + 2 = 2$. Observamos que el valor máximo es $8$ y el valor mínimo es $2$. El máximo se alcanza en el punto **$(4, 4)$**. El mínimo se alcanza en los puntos **$(1, 1)$ y $(0, 2)$**. Al repetirse el valor mínimo en dos vértices contiguos, la función también toma ese valor mínimo en todos los puntos del segmento que los une (segmento $AD$, que pertenece a la recta $x+y=2$). 💡 **Tip:** Según el Teorema Fundamental de la Programación Lineal, si la solución óptima no es única, se alcanza en todo el segmento que une los vértices óptimos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo: } 8 \text{ en } (4, 4); \quad \text{Mínimo: } 2 \text{ en el segmento entre } (1, 1) \text{ y } (0, 2)}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Pertenece el punto $(\frac{1}{3}, \frac{4}{3})$ al recinto anterior? Justifique la respuesta.** Para comprobar si un punto pertenece al recinto, debe cumplir **todas** las restricciones simultáneamente: 1. $x + y \ge 2 \implies \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$. Como $1.67 \lt 2$, **no se cumple** la primera restricción. No es necesario comprobar las demás, ya que al fallar una, el punto queda fuera del recinto. No obstante, las otras son: 2. $x - y \le 0 \implies \frac{1}{3} - \frac{4}{3} = -1 \le 0$ (Sí). 3. $y \le 4 \implies \frac{4}{3} \le 4$ (Sí). 4. $x \ge 0 \implies \frac{1}{3} \ge 0$ (Sí). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El punto } (\tfrac{1}{3}, \tfrac{4}{3}) \text{ NO pertenece al recinto porque no cumple } x+y \ge 2}$$