Análisis de niveles de contaminación atmosférica

**a) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará un máximo en el nivel de contaminación?** Para encontrar el máximo de la función de contaminación $C(t)$, debemos calcular su primera derivada y estudiar sus puntos críticos. La función es: $$C(t) = -0.2t^2 + 4t + 25$$ Derivamos aplicando las reglas básicas de derivación para polinomios: $$C'(t) = (-0.2 \cdot 2)t^{2-1} + 4 + 0 = -0.4t + 4$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar los valores de $t$ donde la pendiente es nula: $$-0.4t + 4 = 0 \implies -0.4t = -4 \implies t = \frac{-4}{-0.4} = 10$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones cuadráticas de la forma $f(x)=ax^2+bx+c$, si $a < 0$, la parábola está abierta hacia abajo y el vértice siempre representa un máximo absoluto.

Para confirmar que en $t = 10$ hay un máximo, estudiamos el signo de la primera derivada $C'(t)$ a ambos lados de dicho valor dentro del dominio $[0, 25]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 10) & 10 & (10, 25) \\ \hline C'(t) & + & 0 & - \\ C(t) & \text{Creciente} (\nearrow) & \text{Máximo} & \text{Decreciente} (\searrow) \end{array}$$ - Si $t=5$: $C'(5) = -0.4(5) + 4 = 2 > 0$. - Si $t=15$: $C'(15) = -0.4(15) + 4 = -2 < 0$. Como la función pasa de crecer a decrecer en $t = 10$, existe un máximo relativo. Dado que $t$ representa los años transcurridos desde el año 2000: $$\text{Año} = 2000 + 10 = 2010$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El nivel máximo de contaminación se alcanzará en el año 2010}}$$

**b) (1 punto) ¿En qué año se alcanzará el nivel de contaminación cero?** Buscamos el valor de $t$ tal que $C(t) = 0$. Esto implica resolver la ecuación de segundo grado: $$-0.2t^2 + 4t + 25 = 0$$ Utilizamos la fórmula general $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ con $a = -0.2$, $b = 4$ y $c = 25$: $$t = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(-0.2)(25)}}{2(-0.2)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 20}}{-0.4} = \frac{-4 \pm \sqrt{36}}{-0.4}$$ Esto nos da dos posibles soluciones: 1. $t_1 = \frac{-4 + 6}{-0.4} = \frac{2}{-0.4} = -5$ (No válida, ya que $t$ debe estar en el intervalo $[0, 25]$). 2. $t_2 = \frac{-4 - 6}{-0.4} = \frac{-10}{-0.4} = 25$ (Válida). Calculamos el año correspondiente: $$\text{Año} = 2000 + 25 = 2025$$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, siempre debemos verificar que el resultado matemático esté dentro del dominio definido por el enunciado ($0 \le t \le 25$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El nivel de contaminación cero se alcanzará en el año 2025}}$$

**c) (1 punto) Calcule la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función $C(t)$ en $t = 8$. Interprete el resultado anterior relacionándolo con el crecimiento o decrecimiento.** La pendiente de la recta tangente a la gráfica en un punto $t = a$ viene dada por el valor de la derivada en dicho punto, es decir, $m = C'(a)$. Usamos la derivada calculada en el primer apartado, $C'(t) = -0.4t + 4$, y evaluamos en $t = 8$: $$m = C'(8) = -0.4(8) + 4 = -3.2 + 4 = 0.8$$ **Interpretación:** Dado que $C'(8) = 0.8$ y este valor es mayor que cero ($0.8 \gt 0$), la función $C(t)$ es **creciente** en el instante $t = 8$. Esto significa que en el año 2008 el nivel de contaminación de la ciudad todavía estaba aumentando a un ritmo de 0.8 unidades por año. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f'(a) \gt 0$, la función crece en ese punto; si $f'(a) \lt 0$, la función decrece. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 0.8; \quad \text{La contaminación está creciendo en } t = 8}$$