Probabilidad condicionada e Inferencia estadística

Para resolver la primera parte del ejercicio, definimos los sucesos y organizamos la información en un árbol de probabilidad. Definimos los sucesos: - $E$: El alumno estudia Estadística. - $D$: El alumno estudia DAO. - $H$: El alumno es hombre. - $M$: El alumno es mujer. Datos del enunciado: - $P(E) = 0.70 \implies P(D) = 1 - 0.70 = 0.30$ - $P(M|E) = 0.60 \implies P(H|E) = 1 - 0.60 = 0.40$ - $P(H|D) = 0.70 \implies P(M|D) = 1 - 0.70 = 0.30$

**a) (1 punto) Elegido un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?** Para calcular la probabilidad de que un alumno sea hombre, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total** sumando las probabilidades de ser hombre estudiando Estadística y de ser hombre estudiando DAO: $$P(H) = P(E) \cdot P(H|E) + P(D) \cdot P(H|D)$$ Sustituimos los valores obtenidos del árbol: $$P(H) = 0.70 \cdot 0.40 + 0.30 \cdot 0.70$$ $$P(H) = 0.28 + 0.21 = 0.49$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(H) = 0.49}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de todas las ramas que parten de un mismo nodo debe ser siempre 1.

**b) (1 punto) Sabiendo que se ha seleccionado una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que estudie Estadística?** Nos piden la probabilidad de que el alumno estudie Estadística dado que es mujer, es decir, $P(E|M)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**. Primero, necesitamos la probabilidad de ser mujer, $P(M)$. Como ser hombre y ser mujer son sucesos contrarios: $$P(M) = 1 - P(H) = 1 - 0.49 = 0.51$$ Ahora aplicamos la fórmula de Bayes: $$P(E|M) = \frac{P(E \cap M)}{P(M)} = \frac{P(E) \cdot P(M|E)}{P(M)}$$ Sustituimos los valores: $$P(E|M) = \frac{0.70 \cdot 0.60}{0.51} = \frac{0.42}{0.51}$$ Simplificando la fracción: $$P(E|M) = \frac{42}{51} = \frac{14}{17} \approx 0.8235$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(E|M) \approx 0.8235}$$ 💡 **Tip:** En el teorema de Bayes, el numerador es la probabilidad de la 'rama' específica que nos interesa y el denominador es la suma de todas las 'ramas' que terminan en el suceso conocido (en este caso, mujer).

**a) (1.5 puntos) Determine un intervalo de confianza de la proporción de turismos que tienen motor diésel en esa ciudad.** Identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 300$ - Turismos con motor diésel: $x = 75$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{75}{300} = 0.25$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - 0.25 = 0.75$ Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un nivel de confianza del 94% ($1-\alpha = 0.94$): - $\alpha = 1 - 0.94 = 0.06 \implies \alpha/2 = 0.03$ - Buscamos en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$ - Mirando la tabla $N(0,1)$, encontramos que el valor que más se aproxima es $z_{\alpha/2} = 1.88$. La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos el error $E$: $$E = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{300}} = 1.88 \cdot \sqrt{\frac{0.1875}{300}} = 1.88 \cdot \sqrt{0.000625} = 1.88 \cdot 0.025 = 0.047$$ El intervalo es: $$I.C. = (0.25 - 0.047, 0.25 + 0.047) = (0.203, 0.297)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.203, 0.297)}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Cuál es el error máximo de la estimación de la proporción?** El error máximo ya lo hemos calculado en el paso anterior al construir el intervalo de confianza. El error máximo es el radio del intervalo, es decir, la cantidad que sumamos y restamos a la proporción muestral $\hat{p}$. $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituyendo los valores ya calculados: $$E = 1.88 \cdot 0.025 = 0.047$$ Esto significa que la estimación de la proporción poblacional tiene un margen de error de $\pm 4.7\%$ con una confianza del 94%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{E = 0.047}$$ 💡 **Tip:** El error máximo siempre es la mitad de la amplitud (longitud) del intervalo de confianza.