Sistemas de ecuaciones matriciales y operaciones con matrices

**a) (2 puntos) Plantee y resuelva el sistema de ecuaciones dado por $$\begin{pmatrix} 3 & 1-2x & 0 \\ 2 & x+1 & 2 \\ 0 & 1 & z \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y \\ 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \\ 0 \end{pmatrix}$$ ** Para obtener las ecuaciones, realizamos el producto de la matriz por el vector columna siguiendo la regla de "fila por columna": 1. **Primera fila:** $3 \cdot y + (1 - 2x) \cdot 2 + 0 \cdot 1 = -1$ 2. **Segunda fila:** $2 \cdot y + (x + 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 = 2$ 3. **Tercera fila:** $0 \cdot y + 1 \cdot 2 + z \cdot 1 = 0$ Operamos en cada una de ellas para simplificarlas: - De la 1ª: $3y + 2 - 4x = -1 \implies -4x + 3y = -3$ - De la 2ª: $2y + 2x + 2 + 2 = 2 \implies 2x + 2y = -2 \implies x + y = -1$ - De la 3ª: $2 + z = 0 \implies z = -2$ 💡 **Tip:** Recuerda que para multiplicar matrices, multiplicamos los elementos de la fila de la primera por los de la columna de la segunda y sumamos los resultados.

Ya conocemos el valor de $z = -2$. Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): $$\begin{cases} -4x + 3y = -3 \\ x + y = -1 \end{cases}$$ De la segunda ecuación, despejamos $y$: $$y = -1 - x$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$-4x + 3(-1 - x) = -3$$ $$-4x - 3 - 3x = -3$$ $$-7x = 0 \implies x = 0$$ Ahora calculamos el valor de $y$ sustituyendo $x=0$: $$y = -1 - 0 = -1$$ Por tanto, los valores de las incógnitas son: $$\boxed{x = 0, \quad y = -1, \quad z = -2}$$

**b) (1 punto) Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}$, calcule la matriz $M = A^t \cdot A^{-1}$.** Primero calculamos la matriz traspuesta $A^t$ intercambiando filas por columnas: $$A^t = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix}$$ Para calcular la matriz inversa $A^{-1}$, primero calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{pmatrix} = (2 \cdot 5) - (3 \cdot 4) = 10 - 12 = -2$$ Como $|A| \neq 0$, la matriz $A$ es invertible. 💡 **Tip:** La matriz traspuesta se obtiene convirtiendo la primera fila en la primera columna y la segunda fila en la segunda columna.

Calculamos la matriz adjunta de $A$, $Adj(A)$: - $A_{11} = 5$ - $A_{12} = -4$ - $A_{21} = -3$ - $A_{22} = 2$ La matriz adjunta es: $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}$$ La matriz inversa viene dada por la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (Adj(A))^t$: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 5 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5/2 & 3/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2 \times 2$, un truco rápido para la adjunta traspuesta es intercambiar los elementos de la diagonal principal y cambiar el signo de los de la diagonal secundaria.

Finalmente, calculamos $M = A^t \cdot A^{-1}$: $$M = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -5/2 & 3/2 \\ 2 & -1 \end{pmatrix}$$ Efectuamos el producto: - $m_{11} = 2 \cdot (-5/2) + 4 \cdot 2 = -5 + 8 = 3$ - $m_{12} = 2 \cdot (3/2) + 4 \cdot (-1) = 3 - 4 = -1$ - $m_{21} = 3 \cdot (-5/2) + 5 \cdot 2 = -15/2 + 10 = -7.5 + 10 = 2.5 = 5/2$ - $m_{22} = 3 \cdot (3/2) + 5 \cdot (-1) = 9/2 - 5 = 4.5 - 5 = -0.5 = -1/2$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{M = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 5/2 & -1/2 \end{pmatrix}}$$