Optimización del beneficio por venta de fresas

**a) (1.25 puntos) ¿Entre qué precios se producen beneficios para el almacenista?** El almacenista obtiene beneficios siempre que la función de beneficio sea positiva, es decir, cuando $B(x) \gt 0$. Para encontrar este intervalo, primero calculamos los puntos donde el beneficio es cero (puntos de corte con el eje $X$): $$-x^2 + 4x - 3 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para facilitar el cálculo: $x^2 - 4x + 3 = 0$. Usamos la fórmula de la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2}$$ $$x = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$x_1 = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ 💡 **Tip:** Estos valores indican los precios en los que el beneficio es nulo. Entre estos valores, el beneficio será positivo o negativo.

Como la función $B(x) = -x^2 + 4x - 3$ es una parábola con las ramas hacia abajo (porque el coeficiente de $x^2$ es negativo, $a = -1$), el beneficio será positivo en el intervalo comprendido entre las dos raíces encontradas. Podemos comprobarlo evaluando un punto intermedio, por ejemplo $x = 2$: $$B(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \gt 0$$ Por tanto, el beneficio es positivo cuando el precio $x$ está entre 1 y 3 euros. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se producen beneficios para precios entre 1 € y 3 €}} $$

**b) (1.25 puntos) ¿Qué precio maximiza los beneficios?** Para maximizar el beneficio, buscamos el extremo relativo calculando la derivada de $B(x)$ e igualándola a cero: $$B'(x) = -2x + 4$$ Igualamos a cero: $$-2x + 4 = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$$ Para confirmar que es un máximo, calculamos la segunda derivada: $$B''(x) = -2$$ Como $B''(2) = -2 \lt 0$, confirmamos que en $x = 2$ existe un **máximo relativo**. 💡 **Tip:** En una función cuadrática $f(x) = ax^2 + bx + c$, el máximo o mínimo siempre se encuentra en el vértice, cuya abscisa es $x = -b/(2a)$. En este caso, $x = -4 / (2 \cdot (-1)) = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 \text{ €/kg maximiza el beneficio}}$$

**c) (0.5 puntos) Si tiene en el almacén 10000 kg de fresas, ¿cuál será el beneficio total máximo que podrá obtener?** Primero calculamos el beneficio máximo por cada kilogramo. Como sabemos por el apartado anterior que el máximo ocurre a un precio de $x = 2$ €: $$B(2) = -(2)^2 + 4(2) - 3 = -4 + 8 - 3 = 1 \text{ €/kg}$$ Si el almacenista dispone de 10.000 kg de fresas, el beneficio total será el beneficio por kg multiplicado por la cantidad total de kg: $$\text{Beneficio Total} = 1 \text{ €/kg} \cdot 10000 \text{ kg} = 10000 \text{ €}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El beneficio total máximo es de 10000 €}}$$