Probabilidad e Inferencia: Independencia y Varianza de Medias Muestrales

**a) (1.25 puntos) ¿Son los sucesos $A$ y $B$ independientes?** Para determinar si dos sucesos son independientes, debemos comprobar si se cumple la condición $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Primero, calculamos $P(A)$ a partir de su complementario: $$P(A) = 1 - P(A^c) = 1 - 0.2 = 0.8.$$ Ahora, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión para hallar $P(A \cap B)$: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.85 = 0.8 + 0.25 - P(A \cap B).$$ $$0.85 = 1.05 - P(A \cap B).$$ $$P(A \cap B) = 1.05 - 0.85 = 0.20.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad del suceso contrario es siempre $P(A) = 1 - P(A^c)$.

Calculamos ahora el producto de las probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.25 = 0.20.$$ Comparamos ambos resultados: Como $P(A \cap B) = 0.20$ y $P(A) \cdot P(B) = 0.20$, se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los sucesos } A \text{ y } B \text{ son independientes}}$$

**b) (0.75 puntos) Calcule $P(A^c / B^c)$.** Por definición de probabilidad condicionada: $$P(A^c / B^c) = \frac{P(A^c \cap B^c)}{P(B^c)}.$$ 1. Calculamos el denominador: $$P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.25 = 0.75.$$ 2. Calculamos el numerador usando las Leyes de De Morgan ($A^c \cap B^c = (A \cup B)^c$): $$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.85 = 0.15.$$ 3. Sustituimos en la fórmula inicial: $$P(A^c / B^c) = \frac{0.15}{0.75} = \frac{15}{75} = 0.2.$$ 💡 **Tip:** Si ya has demostrado que $A$ y $B$ son independientes, sus complementarios $A^c$ y $B^c$ también lo son. Por tanto, $P(A^c / B^c) = P(A^c) = 0.2$, lo que confirma nuestro resultado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A^c / B^c) = 0.2}$$

**Parte II: (2 puntos) Escriba todas las muestras de tamaño 2 que, mediante muestreo aleatorio simple (con reemplazamiento), se pueden extraer del conjunto $\{8,10,12\}$...** Al ser un muestreo con reemplazamiento, el orden importa y los elementos pueden repetirse. Las muestras posibles ($x_1, x_2$) y sus respectivas medias $\bar{x} = \frac{x_1 + x_2}{2}$ son: $$\begin{array}{c|c||c|c||c|c} \text{Muestra} & \bar{x} & \text{Muestra} & \bar{x} & \text{Muestra} & \bar{x} \\ \hline (8, 8) & 8 & (10, 8) & 9 & (12, 8) & 10 \\ (8, 10) & 9 & (10, 10) & 10 & (12, 10) & 11 \\ (8, 12) & 10 & (10, 12) & 11 & (12, 12) & 12 \end{array}$$ En total hay $3^2 = 9$ muestras posibles.

Resumimos los valores de las medias obtenidas ($\bar{x}_i$) y su frecuencia ($n_i$): $$\begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} \bar{x}_i & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & \text{Total} \\ \hline n_i & 1 & 2 & 3 & 2 & 1 & N=9 \end{array}$$ Calculamos la media de las medias (esperanza), $\mu_{\bar{x}}$: $$\mu_{\bar{x}} = \frac{\sum \bar{x}_i \cdot n_i}{N} = \frac{8(1) + 9(2) + 10(3) + 11(2) + 12(1)}{9}$$ $$\mu_{\bar{x}} = \frac{8 + 18 + 30 + 22 + 12}{9} = \frac{90}{9} = 10.$$ 💡 **Tip:** En el muestreo con reemplazamiento, la media de las medias siempre coincide con la media de la población original.

**...y determine el valor de la varianza de las medias de esas muestras.** La fórmula de la varianza es $\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{\sum \bar{x}_i^2 \cdot n_i}{N} - (\mu_{\bar{x}})^2$. Calculamos primero la suma de los cuadrados por sus frecuencias: $$\sum \bar{x}_i^2 \cdot n_i = 8^2(1) + 9^2(2) + 10^2(3) + 11^2(2) + 12^2(1)$$ $$\sum \bar{x}_i^2 \cdot n_i = 64(1) + 81(2) + 100(3) + 121(2) + 144(1)$$ $$\sum \bar{x}_i^2 \cdot n_i = 64 + 162 + 300 + 242 + 144 = 912.$$ Ahora calculamos la varianza: $$\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{912}{9} - 10^2 = \frac{912}{9} - 100 = \frac{912 - 900}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}.$$ En valor decimal, $\sigma_{\bar{x}}^2 \approx 1.333$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\sigma_{\bar{x}}^2 = \frac{4}{3}}$$