Programación lineal: optimización de una función objetivo

Para resolver este problema de programación lineal, primero debemos representar gráficamente la **región factible**, que es el conjunto de puntos $(x,y)$ que cumplen todas las restricciones. Convertimos las inecuaciones en igualdades para obtener las rectas límite: 1. $r_1: 6x + y = 3$ (pasa por $(0,3)$ y $(0.5, 0)$) 2. $r_2: 2x + y = 2$ (pasa por $(0,2)$ y $(1, 0)$) 3. $r_3: y = \frac{5}{4} = 1.25$ (recta horizontal) 4. $r_4: x = 0$ (eje $Y$) 5. $r_5: y = 0$ (eje $X$) Determinamos el semiplano de cada restricción probando con el punto $(0,0)$ si no pasa por él: - $6(0) + (0) \geq 3 \implies 0 \geq 3$ (Falso, el semiplano de $r_1$ no contiene al origen). - $2(0) + (0) \leq 2 \implies 0 \leq 2$ (Verdadero, el semiplano de $r_2$ contiene al origen). - $y \leq 1.25$ (Por debajo de la recta horizontal). - $x \geq 0, y \geq 0$ (Primer cuadrante). 💡 **Tip:** Recuerda que las restricciones $x \geq 0, y \geq 0$ limitan nuestra búsqueda al primer cuadrante del plano cartesiano.

Los vértices son los puntos de intersección de las rectas que delimitan la región. Analizando la gráfica, los vértices son: 1. **Punto A (intersección $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 6x + y = 3 \\ y = 1.25 \end{cases} \implies 6x + 1.25 = 3 \implies 6x = 1.75 \implies x = \frac{1.75}{6} = \frac{175}{600} = \frac{7}{24} \approx 0.2917$$ $$A = \left(\frac{7}{24}, \frac{5}{4}\right)$$ 2. **Punto B (intersección $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ y = 1.25 \end{cases} \implies 2x + 1.25 = 2 \implies 2x = 0.75 \implies x = \frac{0.75}{2} = 0.375 = \frac{3}{8}$$ $$B = \left(\frac{3}{8}, \frac{5}{4}\right)$$ 3. **Punto C (intersección $r_2$ y el eje X):** $$\begin{cases} 2x + y = 2 \\ y = 0 \end{cases} \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ $$C = (1, 0)$$ 4. **Punto D (intersección $r_1$ y el eje X):** $$\begin{cases} 6x + y = 3 \\ y = 0 \end{cases} \implies 6x = 3 \implies x = 0.5 = \frac{1}{2}$$ $$D = (0.5, 0)$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que los vértices calculados cumplen todas las restricciones originales para confirmar que pertenecen a la región factible.

Para encontrar los valores máximo y mínimo, sustituimos las coordenadas de cada vértice en la función objetivo $F(x,y) = x - y$: - Para $A\left(\frac{7}{24}, \frac{5}{4}\right)$: $$F(A) = \frac{7}{24} - \frac{5}{4} = \frac{7 - 30}{24} = -\frac{23}{24} \approx -0.9583$$ - Para $B\left(\frac{3}{8}, \frac{5}{4}\right)$: $$F(B) = \frac{3}{8} - \frac{5}{4} = \frac{3 - 10}{8} = -\frac{7}{8} = -0.875$$ - Para $C(1, 0)$: $$F(C) = 1 - 0 = 1$$ - Para $D(0.5, 0)$: $$F(D) = 0.5 - 0 = 0.5$$

Comparando los resultados obtenidos en el paso anterior: - El valor máximo es **1** y se alcanza en el punto **$C(1, 0)$**. - El valor mínimo es **$-\frac{23}{24}$** y se alcanza en el punto **$A\left(\frac{7}{24}, \frac{5}{4}\right)$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Máximo: } 1 \text{ en } (1, 0); \quad \text{Mínimo: } -\frac{23}{24} \text{ en } \left(\frac{7}{24}, \frac{5}{4}\right)}$$