Estudio de una función cúbica: puntos de corte, monotonía, curvatura y tangentes

**a) (1 punto) Calcule los puntos de corte de la gráfica con los ejes, su monotonía y extremos relativos, si los tuviese.** Para hallar los puntos de corte, analizamos la intersección con cada eje por separado: * **Corte con el eje $OX$ (eje de abscisas):** Hacemos $f(x) = 0$. $$x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x = \sqrt[3]{1} = 1.$$ El punto de corte es **$(1, 0)$**. * **Corte con el eje $OY$ (eje de ordenadas):** Hacemos $x = 0$. $$f(0) = 0^3 - 1 = -1.$$ El punto de corte es **$(0, -1)$**. 💡 **Tip:** Recuerda que para cortar al eje $X$ igualamos la función a cero ($y=0$), y para el eje $Y$ calculamos el valor de la función en cero ($x=0$). ✅ **Resultado (Puntos de corte):** $$\boxed{(1, 0) \text{ y } (0, -1)}$$

Para estudiar la monotonía, calculamos la primera derivada $f'(x)$ e igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 3x^2.$$ $$3x^2 = 0 \implies x^2 = 0 \implies x = 0.$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por este punto: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) = 3x^2 & + & 0 & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \text{Creciente} & \nearrow \end{array}$$ * En $(-\infty, 0)$, elegimos $x = -1$: $f'(-1) = 3(-1)^2 = 3 > 0 \implies$ **Creciente**. * En $(0, +\infty)$, elegimos $x = 1$: $f'(1) = 3(1)^2 = 3 > 0 \implies$ **Creciente**. Como la función es creciente en ambos lados de $x=0$ (no hay cambio de signo en la derivada), **no existen extremos relativos** (ni máximos ni mínimos). ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Creciente en } \mathbb{R}. \text{ No tiene extremos relativos.}}$$

**b) (1 punto) Determine su curvatura y punto de inflexión.** Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = 3x^2$: $$f''(x) = 6x.$$ Igualamos a cero para localizar posibles puntos de inflexión: $$6x = 0 \implies x = 0.$$ Analizamos el signo de $f''(x)$ para determinar la curvatura: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f''(x) = 6x & - & 0 & + \\ \hline \text{Curvatura} & \text{Cóncava (hacia abajo)} & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa (hacia arriba)} \end{array}$$ * Si $x < 0 \implies f''(x) < 0$ (la función es cóncava). * Si $x > 0 \implies f''(x) > 0$ (la función es convexa). Como hay un cambio de curvatura en $x = 0$, existe un **punto de inflexión**. Calculamos su ordenada: $$f(0) = 0^3 - 1 = -1.$$ 💡 **Tip:** El punto de inflexión es donde la función cambia de "forma" (de cóncava a convexa o viceversa). Para ello $f''(x)$ debe ser cero y cambiar de signo. ✅ **Resultado (Curvatura e Inflexión):** $$\boxed{\text{Cóncava en } (-\infty, 0), \text{ Convexa en } (0, +\infty). \text{ Punto de Inflexión: } (0, -1)}$$

**c) (1 punto) Halle los puntos de la gráfica en los que la recta tangente tiene de pendiente 3.** La pendiente de la recta tangente en un punto $x$ viene dada por el valor de la derivada $f'(x)$. Por tanto, debemos resolver: $$f'(x) = 3.$$ Como $f'(x) = 3x^2$: $$3x^2 = 3 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm \sqrt{1}.$$ Esto nos da dos valores de $x$: 1. $x_1 = 1$ 2. $x_2 = -1$ Calculamos las ordenadas correspondientes en la función original $f(x) = x^3 - 1$: * Para $x_1 = 1$: $f(1) = 1^3 - 1 = 0 \implies$ Punto **$(1, 0)$**. * Para $x_2 = -1$: $f(-1) = (-1)^3 - 1 = -1 - 1 = -2 \implies$ Punto **$(-1, -2)$**. 💡 **Tip:** No confundas la pendiente (que es el resultado de la derivada) con el punto de la gráfica (que requiere calcular la coordenada $y$ usando la función original). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Los puntos son } (1, 0) \text{ y } (-1, -2)}$$