Probabilidad e Inferencia: Intervalos de Confianza

**a) (0.5 puntos) ¿Son incompatibles $A$ y $B$?** Dos sucesos son incompatibles si su intersección es vacía, es decir, si $P(A \cap B) = 0$. Para comprobarlo, utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0.65 = 0.3 + 0.4 - P(A \cap B)$$ $$0.65 = 0.7 - P(A \cap B)$$ $$P(A \cap B) = 0.7 - 0.65 = 0.05$$ Como $P(A \cap B) = 0.05 \neq 0$, los sucesos **no son incompatibles**. 💡 **Tip:** Recuerda que incompatible significa que no pueden ocurrir a la vez. Si existe una probabilidad de intersección distinta de cero, pueden ocurrir simultáneamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son incompatibles}}$$

**b) (0.5 puntos) ¿Son independientes $A$ y $B$?** Dos sucesos son independientes si el hecho de que ocurra uno no afecta a la probabilidad del otro. Matemáticamente, esto se cumple si: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Ya hemos calculado que $P(A \cap B) = 0.05$. Calculamos ahora el producto de sus probabilidades individuales: $$P(A) \cdot P(B) = 0.3 \cdot 0.4 = 0.12$$ Comparamos los resultados: $$0.05 \neq 0.12$$ Como $P(A \cap B) \neq P(A) \cdot P(B)$, los sucesos **no son independientes**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No son independientes}}$$

**c) (1 punto) Calcule $P(A / B^c)$.** Nos piden la probabilidad de $A$ condicionada al suceso contrario de $B$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(A / B^c) = \frac{P(A \cap B^c)}{P(B^c)}$$ Calculamos los elementos necesarios: 1. **Denominador**: $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - 0.4 = 0.6$. 2. **Numerador**: La probabilidad de que ocurra $A$ y no ocurra $B$ se calcula restando la intersección a la probabilidad de $A$: $$P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0.3 - 0.05 = 0.25$$ Sustituimos en la fórmula: $$P(A / B^c) = \frac{0.25}{0.6} = \frac{25}{60} = \frac{5}{12} \approx 0.4167$$ 💡 **Tip:** Ayúdate de un diagrama de Venn si tienes dificultades para visualizar que $P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A / B^c) = 0.4167}$$

**Parte II a) (1 punto) Una muestra aleatoria de tamaño 9 ha proporcionado los siguientes valores de $X$: 7.0, 6.4, 8.0, 7.1, 7.3, 7.4, 5.6, 8.8, 7.2. Obtenga un intervalo de confianza para la media $\mu$, con un nivel de confianza del 97%.** Primero, calculamos la media de la muestra ($\bar{x}$): $$\bar{x} = \frac{7.0+6.4+8.0+7.1+7.3+7.4+5.6+8.8+7.2}{9} = \frac{64.8}{9} = 7.2$$ Datos conocidos: - Tamaño muestral $n = 9$. - Desviación típica poblacional $\sigma = 0.9$. - Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97$. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Si $1 - \alpha = 0.97$, entonces $\alpha = 0.03$ y $\alpha/2 = 0.015$. Buscamos en la tabla de la Normal el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.015 = 0.985$. Mirando en las tablas de la Normal $N(0,1)$, encontramos que para la probabilidad $0.985$, el valor es: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.17 \cdot \frac{0.9}{\sqrt{9}} = 2.17 \cdot \frac{0.9}{3} = 2.17 \cdot 0.3 = 0.651$$ Construimos el intervalo: $$I.C. = (7.2 - 0.651, 7.2 + 0.651) = (6.549, 7.851)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (6.549, 7.851)}$$

**b) (1 punto) Con otra muestra, se ha obtenido que un intervalo de confianza para $\mu$, al 95%, es el siguiente (6.906, 7.494). ¿Cuál es el tamaño de la muestra utilizada?** En un intervalo de confianza $(a, b)$, el error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo: $$E = \frac{b - a}{2} = \frac{7.494 - 6.906}{2} = \frac{0.588}{2} = 0.294$$ Datos para este apartado: - Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.95 \implies z_{\alpha/2} = 1.96$ (valor estándar para el 95%). - $\sigma = 0.9$. - $E = 0.294$. Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E}$$ $$\sqrt{n} = \frac{1.96 \cdot 0.9}{0.294} = \frac{1.764}{0.294} = 6$$ Elevando al cuadrado: $$n = 6^2 = 36$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de $n$ no fuera entero, siempre deberías redondear al alza para garantizar que el error no sea mayor al permitido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 36}$$