Sistema de ecuaciones: Problema de latas de conserva

**a) (1 punto) Plantee el sistema de ecuaciones que resolvería el problema anterior.** Primero, debemos identificar qué es lo que queremos calcular para definir nuestras incógnitas. Nos preguntan por el número de latas de cada fabricante: - $x$: número de latas del fabricante A. - $y$: número de latas del fabricante B. - $z$: número de latas del fabricante C. 💡 **Tip:** Es fundamental definir las variables al principio para que las ecuaciones tengan sentido.

A partir de la información del enunciado, establecemos tres relaciones: 1. **Total de latas:** Compramos un total de 20 latas. $$x + y + z = 20$$ 2. **Peso total:** Las latas pesan un total de 10 kg. Debemos expresar todos los pesos en la misma unidad (kg). Así, 250 g = 0.25 kg y 500 g = 0.5 kg. $$0.25x + 0.5y + 1z = 10$$ 3. **Coste total:** El coste total es de 35.6 euros, con precios de 1, 1.8 y 3.3 euros por lata. $$1x + 1.8y + 3.3z = 35.6$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con números enteros en la ecuación del peso, podemos multiplicar toda la fila por 4, quedando: $x + 2y + 4z = 40$.

El sistema de ecuaciones lineales que modela el problema es: $$\begin{cases} x + y + z = 20 \\ 0.25x + 0.5y + z = 10 \\ x + 1.8y + 3.3z = 35.6 \end{cases}$$ Si simplificamos la segunda ecuación (multiplicando por 4) y la tercera (multiplicando por 10 para quitar decimales), el sistema equivalente más cómodo de resolver sería: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 20 \\ x + 2y + 4z = 40 \\ 10x + 18y + 33z = 356 \end{cases}}$$

**b) (2 puntos) Resuelva el problema.** Utilizaremos el método de Gauss sobre la matriz ampliada del sistema: $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 1 & 2 & 4 & 40 \\ 10 & 18 & 33 & 356 \end{array}\right)$$ Realizamos transformaciones elementales para hacer ceros por debajo del pivote de la primera columna: - $F_2 \to F_2 - F_1$ - $F_3 \to F_3 - 10F_1$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 0 & 1 & 3 & 20 \\ 0 & 8 & 23 & 156 \end{array}\right)$$ Ahora hacemos cero en la segunda columna usando la segunda fila: - $F_3 \to F_3 - 8F_2$ $$\left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 20 \\ 0 & 1 & 3 & 20 \\ 0 & 0 & -1 & -4 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El método de Gauss consiste en triangular la matriz para resolver el sistema de abajo hacia arriba.

Ahora, reconstruimos las ecuaciones a partir de la matriz escalonada: 1. De la tercera fila: $-z = -4 \implies \mathbf{z = 4}$ 2. Sustituimos $z$ en la segunda fila: $y + 3z = 20$ $$y + 3(4) = 20 \implies y + 12 = 20 \implies y = 20 - 12 \implies \mathbf{y = 8}$$ 3. Sustituimos $y$ y $z$ en la primera fila: $x + y + z = 20$ $$x + 8 + 4 = 20 \implies x + 12 = 20 \implies \mathbf{x = 8}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar que los resultados son números enteros y positivos, ya que representan cantidades de objetos físicos.

Hemos obtenido los valores para cada fabricante. Por tanto, se han comprado: - Latas del fabricante A: **8 latas** - Latas del fabricante B: **8 latas** - Latas del fabricante C: **4 latas** ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x=8, \, y=8, \, z=4}$$