Estudio de una función a trozos: representación, continuidad y derivabilidad

**a) (1 punto) Represente gráficamente la función.** La función $f(x)$ está definida a trozos por dos funciones lineales (rectas). Para representarla, analizamos cada rama por separado: 1. **Rama 1:** $y = -x + 1$ si $x \lt 1$. Es una recta con pendiente negativa. - Si $x = 0 \implies y = 1$. - Si $x \to 1^- \implies y \to 0$ (punto abierto en $(1, 0)$). 2. **Rama 2:** $y = x - 1$ si $x \geq 1$. Es una recta con pendiente positiva. - Si $x = 1 \implies y = 0$ (punto cerrado en $(1, 0)$). - Si $x = 2 \implies y = 1$. Al unir ambas ramas en el punto $x=1$, observamos que coinciden en el valor $y=0$, formando una figura en forma de "V". 💡 **Tip:** Para representar rectas basta con obtener dos puntos de cada tramo, prestando especial atención al valor donde cambia la definición de la función.

**b) (1 punto) Estudie la continuidad de la función.** Para estudiar la continuidad, analizamos los intervalos de las ramas y el punto de salto entre ramas $x = 1$: 1. **En los intervalos abiertos:** - En $(-\infty, 1)$, $f(x) = -x + 1$ es una función polinómica, por lo tanto, es continua. - En $(1, +\infty)$, $f(x) = x - 1$ es una función polinómica, por lo tanto, es continua. 2. **En el punto de cambio de rama ($x = 1$):** Para que sea continua en $x=1$, deben coincidir los límites laterales y el valor de la función: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-x + 1) = -1 + 1 = 0$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x - 1) = 1 - 1 = 0$$ - Valor de la función: $$f(1) = 1 - 1 = 0$$ Como $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^+} f(x) = f(1) = 0$, la función no presenta saltos en este punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es continua en todo } \mathbb{R}}$$

**c) (1 punto) Estudie la derivabilidad de la función.** Una vez comprobada la continuidad, estudiamos la derivabilidad. Primero calculamos la derivada en las ramas donde $x \neq 1$: $$f'(x) = \begin{cases} -1 & \text{si } x \lt 1 \\ 1 & \text{si } x \gt 1 \end{cases}$$ Ahora, analizamos las **derivadas laterales** en el punto $x = 1$ para ver si la función es derivable en dicho valor: - Derivada por la izquierda: $$f'(1^-) = -1$$ - Derivada por la derecha: $$f'(1^+) = 1$$ Como las derivadas laterales son finitas pero distintas ($f'(1^-) \neq f'(1^+)$), la función **no es derivable en $x = 1$**. 💡 **Tip:** Gráficamente, esto se traduce en un **punto anguloso**. Una función puede ser continua pero no derivable si en un punto hay un cambio brusco de pendiente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$