Probabilidad e Inferencia: Sucesos Independientes e Intervalo de Confianza

**a) (1 punto) Calcule $P(A \cap B)$ y $P(A \cup B)$.** En la primera parte del ejercicio, nos indican que los sucesos $A$ y $B$ son **independientes**. Esto es una información crucial, ya que nos permite usar una fórmula directa para la intersección. Para la **intersección** $P(A \cap B)$: Si dos sucesos son independientes, se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Sustituimos los valores dados: $$P(A \cap B) = 0.4 \cdot 0.6 = 0.24$$ Para la **unión** $P(A \cup B)$: Utilizamos la fórmula general de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores: $$P(A \cup B) = 0.4 + 0.6 - 0.24 = 1 - 0.24 = 0.76$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la independencia simplifica mucho los cálculos, pero siempre debes justificar por qué multiplicas las probabilidades. ✅ **Resultados:** $$\boxed{P(A \cap B) = 0.24} \quad \boxed{P(A \cup B) = 0.76}$$

**b) (1 punto) Calcule $P(A / B)$ y $P(B / A^c)$.** Nuevamente, aprovechamos la propiedad de **independencia**: 1. **Cálculo de $P(A / B)$:** Por definición, si $A$ y $B$ son independientes, el hecho de que ocurra $B$ no afecta a la probabilidad de $A$. Por lo tanto: $$P(A / B) = P(A) = 0.4$$ *(También podrías calcularlo mediante la definición: $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0.24}{0.6} = 0.4$)*. 2. **Cálculo de $P(B / A^c)$:** Si $A$ y $B$ son independientes, también lo son sus complementarios. Esto significa que $B$ es independiente de $A^c$, por lo que: $$P(B / A^c) = P(B) = 0.6$$ 💡 **Tip:** Si $A$ y $B$ son independientes, entonces las siguientes parejas también lo son: $(A, B^c)$, $(A^c, B)$ y $(A^c, B^c)$. ✅ **Resultados:** $$\boxed{P(A / B) = 0.4} \quad \boxed{P(B / A^c) = 0.6}$$

**Parte II (2 puntos) Tomando, al azar, una muestra de 80 empleados de una empresa, se encontró que 20 usaban gafas. Halle, con un nivel de confianza del 90%, un intervalo de confianza para estimar la proporción de empleados de esa empresa que usan gafas.** Primero, extraemos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 80$ - Número de éxitos (usan gafas): $x = 20$ - Proporción muestral: $\hat{p} = \frac{20}{80} = 0.25$ - Proporción complementaria: $\hat{q} = 1 - \hat{p} = 0.75$ Ahora, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para un **nivel de confianza del 90%**: $$1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.05$$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.05 = 0.95$. En las tablas de la normal $N(0,1)$, el valor de $0.95$ se encuentra exactamente entre $1.64$ y $1.65$. Tomamos el valor medio: $$z_{\alpha/2} = 1.645$$ 💡 **Tip:** El valor crítico $z_{\alpha/2}$ es fundamental. Para el 90% es $1.645$, para el 95% es $1.96$ y para el 99% es $2.575$.

Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p} \cdot \hat{q}}{n}}$$ Sustituimos los valores: $$E = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.25 \cdot 0.75}{80}} = 1.645 \cdot \sqrt{\frac{0.1875}{80}}$$ $$E = 1.645 \cdot \sqrt{0.00234375} \approx 1.645 \cdot 0.0484 = 0.0796$$ El intervalo de confianza viene dado por $(\hat{p} - E, \hat{p} + E)$: - Límite inferior: $0.25 - 0.0796 = 0.1704$ - Límite superior: $0.25 + 0.0796 = 0.3296$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza siempre tiene la estructura: $\text{Estadístico} \pm \text{Error}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{I.C. = (0.1704, 0.3296)}$$ Con un nivel de confianza del 90%, la proporción de empleados que usan gafas está entre el **17.04%** y el **32.96%**.