Resolución de una ecuación matricial e inversa de una matriz

**Determine $X$ en la ecuación matricial $X \cdot A - 2B = C$.** Para resolver la ecuación matricial, primero debemos aislar el término que contiene la incógnita $X$. Tratamos la ecuación como una ecuación lineal normal, teniendo en cuenta las propiedades de las matrices: 1. Sumamos $2B$ en ambos lados: $$X \cdot A = C + 2B$$ 2. Para despejar $X$, debemos multiplicar por la inversa de $A$ ($A^{-1}$) por la **derecha**, ya que en el producto de matrices el orden es fundamental ($X \cdot A \cdot A^{-1} = X \cdot I = X$). $$X = (C + 2B) \cdot A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices no es conmutativo. Si la matriz $A$ está multiplicando a $X$ por la derecha, debemos multiplicar por su inversa también por la derecha.

Calculamos primero el término $2B$ y luego le sumamos $C$: $$2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} -2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 & 2 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora realizamos la suma $C + 2B$ elemento a elemento: $$C + 2B = \begin{pmatrix} 5 & -2 & -6 \\ 0 & -3 & 2 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 2 & 6 \\ 0 & 4 & -2 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-4 & -2+2 & -6+6 \\ 0+0 & -3+4 & 2-2 \\ -2+2 & 0+0 & -1+2 \end{pmatrix}$$ $$C + 2B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Observamos que el resultado es la **matriz identidad** ($I$). Por tanto, nuestra ecuación queda: $$X = I \cdot A^{-1} = A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Cualquier matriz multiplicada por la identidad da como resultado la misma matriz ($I \cdot M = M$).

Para hallar $A^{-1}$, primero calculamos su determinante para asegurar que es distinto de cero. Usaremos la regla de **Sarrus**: $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & 4 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-1)(-1)(2) + (4)(0)(3) + (-1)(0)(1)] - [3(-1)(-1) + (1)(0)(-1) + (2)(0)(4)]$$ $$|A| = [2 + 0 + 0] - [3 + 0 + 0]$$ $$|A| = 2 - 3 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz $A$ tiene inversa. 💡 **Tip:** Un determinante con una fila o columna con muchos ceros (como la segunda fila de $A$) también puede resolverse cómodamente desarrollando por esa fila.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $A$: $A_{11} = +\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -2 \quad A_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 3$ $A_{21} = -\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = -(8 - (-1)) = -9 \quad A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} = -2 - (-3) = 1 \quad A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 12) = 13$ $A_{31} = +\begin{vmatrix} 4 & -1 \\ -1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 1 = -1 \quad A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0 \quad A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 4 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 - 0 = 1$ La matriz de adjuntos es: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} -2 & 0 & 3 \\ -9 & 1 & 13 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ La traspuesta de la matriz de adjuntos es: $$[\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} -2 & -9 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 13 & 1 \end{pmatrix}$$

Aplicamos la fórmula de la matriz inversa: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot [\text{Adj}(A)]^t$$ Como $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \cdot \begin{pmatrix} -2 & -9 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 3 & 13 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 9 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -3 & -13 & -1 \end{pmatrix}$$ Dado que habíamos determinado que $X = A^{-1}$, la solución final es: ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 2 & 9 & 1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -3 & -13 & -1 \end{pmatrix}}$$ 💡 **Tip:** Puedes comprobar el resultado multiplicando $X \cdot A$ y verás que obtienes la matriz identidad $I$.