Estudio de una función racional: tangente, monotonía y asíntotas

**a) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f$ en el punto $(0, 1)$.** Para hallar la ecuación de la recta tangente, necesitamos la derivada de la función, ya que la pendiente de la tangente en un punto $x = a$ es $f'(a)$. Dada $f(x) = \frac{x-1}{2x-1}$, aplicamos la regla de la derivada del cociente $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$: 1. Identificamos $u = x-1 \implies u' = 1$. 2. Identificamos $v = 2x-1 \implies v' = 2$. Calculamos la derivada: $$f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-1) - (x-1) \cdot 2}{(2x-1)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x - 1 - 2x + 2}{(2x-1)^2} = \frac{1}{(2x-1)^2}$$ Ahora calculamos la pendiente en el punto $(0, 1)$, es decir, cuando $x = 0$: $$m = f'(0) = \frac{1}{(2\cdot 0 - 1)^2} = \frac{1}{(-1)^2} = 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada evaluada en el punto nos da la pendiente de la recta tangente.

Utilizamos la fórmula de la recta en su forma punto-pendiente: $y - y_0 = m(x - x_0)$. Con el punto $(x_0, y_0) = (0, 1)$ y la pendiente $m = 1$: $$y - 1 = 1 \cdot (x - 0)$$ $$y - 1 = x$$ $$y = x + 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = x + 1}$$

**b) (1 punto) Estudie la monotonía de $f$.** Para estudiar la monotonía, primero determinamos el dominio de la función. Al ser una función racional, el denominador no puede ser cero: $$2x - 1 = 0 \implies x = \frac{1}{2}$$ El dominio es **$\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{1/2\}$**. Analizamos el signo de la derivada $f'(x) = \frac{1}{(2x-1)^2}$: - El numerador es $1$, que siempre es positivo ($1 \gt 0$). - El denominador es $(2x-1)^2$, que al estar elevado al cuadrado, siempre es positivo en todo su dominio. Por tanto, $f'(x) \gt 0$ para cualquier valor de $x$ perteneciente al dominio. Construimos la tabla de signos para verificar el crecimiento: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1/2) & 1/2 & (1/2, +\infty)\\ \hline f'(x) & + & \nexists & + \\ \hline f(x) & \nearrow & \nexists & \nearrow \end{array}$$ 💡 **Tip:** Si $f'(x) \gt 0$ en un intervalo, la función es estrictamente creciente en ese intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{f es creciente en } (-\infty, 1/2) \cup (1/2, +\infty)}$$

**c) (1 punto) Halle las asíntotas, los puntos de corte con los ejes y represente gráficamente la función.** **1. Asíntotas Verticales (A.V.):** Se encuentran en los puntos donde el denominador es cero y el límite es infinito. Probamos en $x = 1/2$: $$\lim_{x \to 1/2^-} \frac{x-1}{2x-1} = \frac{-0.5}{0^-} = +\infty$$ $$\lim_{x \to 1/2^+} \frac{x-1}{2x-1} = \frac{-0.5}{0^+} = -\infty$$ Por tanto, existe una **asíntota vertical en $x = 1/2$**. **2. Asíntotas Horizontales (A.H.):** Calculamos el límite en el infinito: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{2x-1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{2x} = \frac{1}{2}$$ Por tanto, existe una **asíntota horizontal en $y = 1/2$**. **3. Asíntotas Oblicuas (A.O.):** Como existe asíntota horizontal, **no hay asíntota oblicua**.

**Puntos de corte:** - **Con el eje $Y$ (hacemos $x = 0$):** $$f(0) = \frac{0-1}{2(0)-1} = \frac{-1}{-1} = 1 \implies \mathbf{(0, 1)}$$ - **Con el eje $X$ (hacemos $y = 0$):** $$\frac{x-1}{2x-1} = 0 \implies x - 1 = 0 \implies x = 1 \implies \mathbf{(1, 0)}$$ ✅ **Resumen de elementos:** $$\boxed{\text{A.V.: } x=1/2, \text{ A.H.: } y=1/2, \text{ Cortes: } (0,1) \text{ y } (1,0)}$$

A partir de los datos obtenidos (crecimiento, asíntotas y puntos de corte), representamos la función: "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x) = \\frac{x-1}{2x-1}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av", "latex": "x = 1/2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "ah", "latex": "y = 1/2", "color": "#ef4444", "lineStyle": "DASHED" }, { "id": "p1", "latex": "(0, 1)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "p2", "latex": "(1, 0)", "color": "#111827", "showLabel": true }, { "id": "tan", "latex": "y = x + 1", "color": "#16a34a", "lineStyle": "DOTTED" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 5, "bottom": -4, "top": 5 } } }