Probabilidad y estimación de la media por intervalos de confianza

**a) (1.5 puntos) Halle las probabilidades de los sucesos $A$ y $B$.** Para resolver este apartado, utilizaremos las definiciones fundamentales de probabilidad. 1. **Hallar $P(B)$:** Sabemos que la probabilidad condicionada se define como: $$P(A / B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores conocidos: $P(A / B) = 0.6$ y $P(A \cap B) = 0.3$: $$0.6 = \frac{0.3}{P(B)} \implies P(B) = \frac{0.3}{0.6} = 0.5$$ 2. **Hallar $P(A)$:** Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $P(A \cup B) = 1$, $P(B) = 0.5$ y $P(A \cap B) = 0.3$: $$1 = P(A) + 0.5 - 0.3$$ $$1 = P(A) + 0.2 \implies P(A) = 1 - 0.2 = 0.8$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la probabilidad siempre es un número entre 0 y 1. Si obtienes un valor fuera de ese rango, revisa tus cálculos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A) = 0.8 \quad \text{y} \quad P(B) = 0.5}$$

**b) (0.5 puntos) Determine si el suceso $B$ es independiente del suceso $A$.** Dos sucesos $A$ y $B$ son independientes si y solo si se cumple que: $$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$ Calculamos el producto de las probabilidades individuales obtenidas en el apartado anterior: $$P(A) \cdot P(B) = 0.8 \cdot 0.5 = 0.40$$ Comparamos este resultado con el valor dado en el enunciado para la intersección: $$P(A \cap B) = 0.3$$ Como $0.3 \neq 0.4$, los sucesos **no son independientes** (son dependientes). 💡 **Tip:** Otra forma de comprobarlo es ver si $P(A / B) = P(A)$. En este caso, $0.6 \neq 0.8$, lo que confirma la dependencia. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El suceso } B \text{ no es independiente del suceso } A}$$

**a) (0.5 puntos) ¿Cuál ha sido la media de la muestra escogida?** En un intervalo de confianza para la media de una distribución Normal, la media muestral $\bar{x}$ siempre se encuentra exactamente en el centro del intervalo, ya que este se construye sumando y restando el margen de error $E$ a dicha media: $I.C. = (\bar{x} - E, \bar{x} + E)$. Por tanto, calculamos la media aritmética de los extremos del intervalo dado $(509.41, 539.79)$: $$\bar{x} = \frac{509.41 + 539.79}{2}$$ $$\bar{x} = \frac{1049.2}{2} = 524.6$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\bar{x} = 524.6 \text{ euros}}$$

**b) (1.5 puntos) ¿Qué tamaño tenía la muestra?** Para hallar el tamaño de la muestra $n$, necesitamos identificar los componentes de la fórmula del error máximo admisible: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ 1. **Calcular el error $E$:** El error es el radio del intervalo (la distancia del centro a un extremo): $$E = 539.79 - 524.6 = 15.19$$ 2. **Hallar el valor crítico $z_{\alpha/2}$:** Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$. Buscamos el valor tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.015 = 0.985$. Mirando en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$: $$P(Z \le 2.17) = 0.9850 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 3. **Despejar $n$:** Sustituimos $E = 15.19$, $z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 84$: $$15.19 = 2.17 \cdot \frac{84}{\sqrt{n}}$$ $$\sqrt{n} = \frac{2.17 \cdot 84}{15.19} = \frac{182.28}{15.19} = 12$$ $$n = 12^2 = 144$$ 💡 **Tip:** Si el resultado de $n$ no fuera exacto, recuerda que siempre se debe redondear al entero superior para garantizar que el error no supere el límite. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 144}$$