Programación lineal: Modelización y optimización de regiones

**a) (1.25 puntos) Plantee, sin resolver, el siguiente problema de programación lineal: “Una empresa fabrica camisas de dos tipos, A y B. El beneficio que obtiene es de 8 euros por cada camisa que fabrica del tipo A, y de 6 euros por cada una del tipo B. La empresa puede fabricar, como máximo, 100000 camisas, y las del tipo B han de suponer, al menos, el 60% del total. ¿Cuántas camisas debe fabricar de cada tipo para obtener el máximo beneficio?”** Primero, definimos las variables de decisión del problema: - $x$: número de camisas fabricadas del tipo A. - $y$: número de camisas fabricadas del tipo B. La función objetivo representa el beneficio total que queremos maximizar. Según el enunciado, se ganan 8 € por cada camisa A y 6 € por cada camisa B: $$B(x,y) = 8x + 6y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre deben ser mayores o iguales a cero, ya que no se pueden fabricar cantidades negativas de camisas.

Analizamos las limitaciones dadas en el enunciado para establecer las inecuaciones: 1. **Capacidad máxima de fabricación:** La suma de ambos tipos no puede superar las 100.000 unidades. $$x + y \le 100000$$ 2. **Proporción de camisas tipo B:** Deben suponer, al menos, el 60% del total fabricado ($x + y$). $$y \ge 0.60(x + y)$$ Si simplificamos esta expresión: $$y \ge 0.6x + 0.6y \implies 0.4y \ge 0.6x \implies 4y \ge 6x \implies 2y \ge 3x$$ 3. **No negatividad:** $$x \ge 0, \quad y \ge 0$$ El problema queda planteado así: $$\boxed{\begin{aligned} & \text{Maximizar } B(x,y) = 8x + 6y \\ & \text{Sujeto a:} \\ & x + y \le 100000 \\ & y \ge 0.6(x + y) \\ & x \ge 0, y \ge 0 \end{aligned}}$$

**b) (1.75 puntos) Represente la región definida por las inecuaciones: $y \le x, y + 2x \le 6, x \le 4y + 3$. Calcule el máximo de $F(x,y) = y + 2x$ en la región anterior e indique dónde se alcanza.** Para representar la región, primero dibujamos las rectas asociadas a cada inecuación y determinamos el semiplano correcto: 1. $r_1: y = x$ (Bisectriz del primer y tercer cuadrante). Probamos el punto $(1,0)$: $0 \le 1$ (Cierto, la región está por debajo). 2. $r_2: y = -2x + 6$. Pasa por $(3,0)$ y $(0,6)$. Probamos $(0,0)$: $0 + 0 \le 6$ (Cierto, hacia el origen). 3. $r_3: x = 4y + 3 \implies y = \frac{x-3}{4}$. Pasa por $(3,0)$ y $(-1,-1)$. Probamos $(0,0)$: $0 \le 0 + 3$ (Cierto, hacia el origen). La intersección de estos semiplanos forma un triángulo.

Calculamos los puntos de corte entre las rectas para hallar los vértices del recinto: - **Vértice A (Intersección $r_1$ y $r_2$):** $$\begin{cases} y = x \\ y + 2x = 6 \end{cases} \implies x + 2x = 6 \implies 3x = 6 \implies x = 2, y = 2 \implies \mathbf{A(2,2)}$$ - **Vértice B (Intersección $r_1$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y = x \\ x = 4y + 3 \end{cases} \implies y = 4y + 3 \implies -3y = 3 \implies y = -1, x = -1 \implies \mathbf{B(-1,-1)}$$ - **Vértice C (Intersección $r_2$ y $r_3$):** $$\begin{cases} y + 2x = 6 \\ x = 4y + 3 \end{cases} \implies y + 2(4y + 3) = 6 \implies y + 8y + 6 = 6 \implies 9y = 0 \implies y = 0, x = 3 \implies \mathbf{C(3,0)}$$ 💡 **Tip:** Los vértices son los puntos candidatos a ser máximos o mínimos de la función objetivo.

Evaluamos la función $F(x,y) = y + 2x$ en cada uno de los vértices hallados: - En $A(2,2)$: $F(2,2) = 2 + 2(2) = 2 + 4 = 6$ - En $B(-1,-1)$: $F(-1,-1) = -1 + 2(-1) = -1 - 2 = -3$ - En $C(3,0)$: $F(3,0) = 0 + 2(3) = 6$ Observamos que el valor máximo es **6** y se alcanza en dos vértices distintos ($A$ y $C$). Cuando una función objetivo alcanza su valor óptimo en dos vértices adyacentes, significa que también alcanza ese mismo valor en todos los puntos del segmento que los une. Esto ocurre porque la función objetivo es paralela a la restricción $y + 2x = 6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El máximo es 6 y se alcanza en todos los puntos del segmento que une } (2,2) \text{ con } (3,0)}$$