Continuidad, derivabilidad y recta tangente de una función a trozos

**a) (1 punto) ¿Es $f$ continua en $x = 0$? ¿Es continua en su dominio?** Primero analizamos la continuidad en los intervalos abiertos donde la función está definida por cada rama: - Para $x \lt 0$, $f(x) = e^{-x}$ es una función exponencial, que es continua en todo $\mathbb{R}$. - Para $x \gt 0$, $f(x) = x^3 - x + 1$ es una función polinómica, que es continua en todo $\mathbb{R}$. Ahora estudiamos el punto de salto o unión, **$x = 0$**. Para que sea continua en $x=0$, deben coincidir el valor de la función y sus límites laterales: 1. Valor de la función: $f(0) = e^{-0} = 1$. 2. Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{-x} = e^0 = 1.$$ 3. Límite por la derecha: $$\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x^3 - x + 1) = 0^3 - 0 + 1 = 1.$$ Como $f(0) = \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$, la función es continua en $x = 0$. 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si no hay "saltos". En las funciones a trozos, esto se comprueba verificando que los límites laterales en el punto de unión sean iguales al valor de la función. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f \text{ es continua en } x = 0 \text{ y, por tanto, en todo su dominio } \mathbb{R}.}$$

**b) (1 punto) ¿Es $f$ derivable en $x = 0$? ¿Es derivable en su dominio?** Para estudiar la derivabilidad, primero calculamos la derivada de cada rama en los intervalos abiertos: $$f'(x) = \begin{cases} -e^{-x} & \text{si } x \lt 0 \\ 3x^2 - 1 & \text{si } x \gt 0 \end{cases}$$ Como la función es continua en $x=0$, podemos estudiar su derivabilidad comprobando si existen y coinciden las derivadas laterales en dicho punto: 1. Derivada lateral izquierda: $$f'(0^-) = \lim_{x \to 0^-} (-e^{-x}) = -e^0 = -1.$$ 2. Derivada lateral derecha: $$f'(0^+) = \lim_{x \to 0^+} (3x^2 - 1) = 3(0)^2 - 1 = -1.$$ Como $f'(0^-) = f'(0^+) = -1$, la función es derivable en $x = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en él. Si no es continua, automáticamente no es derivable. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La función } f \text{ es derivable en } x = 0 \text{ y en todo su dominio } \mathbb{R}.}$$

**c) (1 punto) Halle la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = 1$.** El punto $x = 1$ pertenece a la segunda rama de la función ($x \gt 0$). Necesitamos hallar el punto de tangencia $(a, f(a))$ y la pendiente $m = f'(a)$. 1. Calculamos la ordenada en $x = 1$: $$f(1) = 1^3 - 1 + 1 = 1.$$ El punto de tangencia es **$(1, 1)$**. 2. Calculamos la pendiente usando la derivada de la segunda rama en $x = 1$: $$f'(x) = 3x^2 - 1 \implies f'(1) = 3(1)^2 - 1 = 2.$$ La pendiente es **$m = 2$**. 3. Aplicamos la fórmula de la recta tangente $y - f(a) = f'(a)(x - a)$: $$y - 1 = 2(x - 1)$$ $$y - 1 = 2x - 2 \implies y = 2x - 1.$$ 💡 **Tip:** La ecuación de la recta tangente siempre tiene la forma $y - y_0 = m(x - x_0)$, donde $m$ es el valor de la derivada en ese punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 2x - 1}$$