Probabilidad Condicionada e Inferencia Estadística

Para la **Parte I**, definimos los siguientes sucesos: - $E$: El visitante es español. - $\bar{E}$: El visitante no es español. - $M$: El visitante es mayor de edad. - $\bar{M}$: El visitante es menor de edad. Datos proporcionados por el enunciado: - $P(E) = 0.70 \implies P(\bar{E}) = 1 - 0.70 = 0.30$ - $P(E \cap M) = 0.49$ - $P(\bar{M} | \bar{E}) = 0.40 \implies P(M | \bar{E}) = 1 - 0.40 = 0.60$ Para visualizarlo mejor, calculamos la probabilidad condicionada de ser mayor de edad sabiendo que es español: $$P(M|E) = \frac{P(E \cap M)}{P(E)} = \frac{0.49}{0.70} = 0.70$$ Organizamos la información en un árbol de probabilidad:

**a) (1 punto) Si se escoge, al azar, un visitante de este museo, ¿cuál es la probabilidad de que sea mayor de edad?** Utilizamos el **Teorema de la Probabilidad Total**. Un visitante puede ser mayor de edad siendo español o no siéndolo: $$P(M) = P(E \cap M) + P(\bar{E} \cap M)$$ Como $P(E \cap M) = 0.49$ (dato directo) y $P(\bar{E} \cap M) = P(\bar{E}) \cdot P(M | \bar{E})$: $$P(M) = 0.49 + (0.30 \cdot 0.60)$$ $$P(M) = 0.49 + 0.18 = 0.67$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la suma de las probabilidades de las ramas que salen de un mismo nodo siempre debe ser 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M) = 0.67}$$

**b) (1 punto) Se ha elegido, aleatoriamente, un visitante de este museo y resulta que es menor de edad, ¿cuál es la probabilidad de que no sea español?** Se nos pide calcular $P(\bar{E} | \bar{M})$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(\bar{E} | \bar{M}) = \frac{P(\bar{E} \cap \bar{M})}{P(\bar{M})}$$ Primero calculamos $P(\bar{M})$: $$P(\bar{M}) = 1 - P(M) = 1 - 0.67 = 0.33$$ Calculamos la intersección: $$P(\bar{E} \cap \bar{M}) = P(\bar{E}) \cdot P(\bar{M} | \bar{E}) = 0.30 \cdot 0.40 = 0.12$$ Finalmente: $$P(\bar{E} | \bar{M}) = \frac{0.12}{0.33} = \frac{12}{33} = \frac{4}{11} \approx 0.3636$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{E} | \bar{M}) = \frac{4}{11} \approx 0.3636}$$

**Parte II** **a) (1 punto) Halle un intervalo de confianza, al 97%, para la media poblacional $\mu$.** Datos: - Variable $X \sim N(\mu, 2)$ - Tamaño de muestra $n = 64$ - Media muestral $\bar{x} = 7$ - Nivel de confianza $1 - \alpha = 0.97$ 1. Calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: Si $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03 \implies \alpha/2 = 0.015$. Buscamos en la tabla de la Normal $N(0, 1)$ el valor que deja por debajo una probabilidad de $1 - 0.015 = 0.985$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.985 \implies z_{\alpha/2} = 2.17$$ 2. Aplicamos la fórmula del intervalo de confianza: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ $$I.C. = \left( 7 - 2.17 \cdot \frac{2}{\sqrt{64}}, 7 + 2.17 \cdot \frac{2}{8} \right)$$ $$I.C. = \left( 7 - 2.17 \cdot 0.25, 7 + 2.17 \cdot 0.25 \right)$$ $$I.C. = (7 - 0.5425, 7 + 0.5425) = (6.4575, 7.5425)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (6.4575, 7.5425)}$$

**b) (1 punto) Manteniendo la misma confianza, ¿cuál debe ser el tamaño mínimo de la muestra para estimar la media de horas de sueño, cometiendo un error máximo de 0.25 horas?** La fórmula del error máximo admisible es: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$ Queremos que $E \le 0.25$. Usamos el mismo $z_{\alpha/2} = 2.17$ y $\sigma = 2$: $$2.17 \cdot \frac{2}{\sqrt{n}} \le 0.25$$ $$\frac{4.34}{\sqrt{n}} \le 0.25 \implies \sqrt{n} \ge \frac{4.34}{0.25}$$ $$\sqrt{n} \ge 17.36$$ $$n \ge (17.36)^2 = 301.3696$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza. 💡 **Tip:** Aunque el decimal sea bajo, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea menor o igual al pedido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n \ge 302}$$