Contraste de hipótesis para la media

**a) ¿Se puede aceptar la afirmación anterior con un nivel de significación del 10 %?** Primero, extraemos los datos del enunciado para organizar la información: - Media poblacional bajo sospecha (hipótesis): $\mu_0 = 65$ kg - Desviación típica poblacional: $\sigma = 2,5$ kg - Tamaño de la muestra: $n = 110$ - Media muestral obtenida: $\bar{x} = 68$ kg Planteamos las hipótesis. Como la afirmación dice "como máximo 65 kg", estamos ante un contraste unilateral a la derecha: - **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu \le 65$ (La afirmación es cierta). - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \gt 65$ (La afirmación es falsa). 💡 **Tip:** En los contrastes de hipótesis, la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad ($\le, \ge, =$). Como queremos ver si el peso es mayor de lo afirmado, la alternativa es $\mu \gt 65$.

Para decidir si rechazamos o no la afirmación, calculamos cuánto se aleja la media de nuestra muestra ($68$) de la media teórica ($65$) en términos de desviaciones típicas. Usamos la fórmula del estadístico $Z$: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{68 - 65}{\frac{2,5}{\sqrt{110}}} = \frac{3}{\frac{2,5}{10,488}} = \frac{3}{0,2384} \approx 12,58$$ Este valor, **$Z_{exp} = 12,58$**, representa la distancia estandarizada de nuestra muestra respecto a la media supuesta.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,10$ (10 %), buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ que deja un área de $0,10$ a su derecha. Esto es equivalente a buscar el valor cuya probabilidad acumulada sea $1 - 0,10 = 0,90$. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 0,90 \implies z_{\alpha} \approx 1,28$$ **Regla de decisión:** Si $Z_{exp} \gt z_{\alpha}$, rechazamos $H_0$. Como $12,58 \gt 1,28$, el valor experimental cae en la **zona de rechazo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se puede aceptar la afirmación. Se rechaza con un 10\% de significación.}}$$

**b) ¿Se concluye lo mismo si el nivel de significación es igual a 0.01?** Ahora el nivel de exigencia es mayor. Con $\alpha = 0,01$, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que la probabilidad acumulada sea $1 - 0,01 = 0,99$. Buscamos en la tabla de la normal $N(0,1)$: $$p(Z \le z_{\alpha}) = 0,99 \implies z_{\alpha} \approx 2,33$$ Comparamos de nuevo nuestro estadístico con el nuevo valor crítico: $$Z_{exp} = 12,58 \quad \text{y} \quad z_{\alpha} = 2,33$$ Como $12,58 \gt 2,33$, el valor experimental sigue estando muy lejos en la zona de rechazo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, se concluye lo mismo. También se rechaza la afirmación para } \alpha = 0,01.}$$