Estimación de proporciones y tamaño muestral

**a) ¿En qué intervalo se encuentra la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa con una confianza del 97%?** Primero, identificamos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 625$ - Número de respuestas afirmativas: $x = 200$ Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$ (familias que comprarían) y su complementario $\hat{q}$ (familias que no comprarían): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{200}{625} = 0.32$$ $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.32 = 0.68$$ 💡 **Tip:** La proporción muestral $\hat{p}$ representa el éxito en nuestra muestra y siempre se calcula como el cociente entre casos favorables y casos totales.

Para un nivel de confianza del $97\%$, debemos encontrar el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $P(-z_{\alpha/2} \le Z \le z_{\alpha/2}) = 0.97$. 1. Calculamos $\alpha$: $1 - \alpha = 0.97 \implies \alpha = 0.03$ 2. Dividimos $\alpha$ entre dos: $\alpha/2 = 0.015$ 3. Buscamos el valor en la tabla de la normal estándar $N(0,1)$ que deje por debajo una probabilidad de: $$1 - \alpha/2 = 1 - 0.015 = 0.9850$$ Buscando en la tabla $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.9850$, encontramos exactamente el valor: $$z_{\alpha/2} = 2.17$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el nivel de confianza es el área central bajo la campana de Gauss. El valor crítico $z_{\alpha/2}$ delimita esa área central.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I.C. = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}}, \hat{p} + z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.32 \cdot 0.68}{625}} = 2.17 \cdot \sqrt{\frac{0.2176}{625}} = 2.17 \cdot 0.018659... \approx 0.0405$$ Ahora formamos el intervalo: $$I.C. = (0.32 - 0.0405, \quad 0.32 + 0.0405)$$ $$I.C. = (0.2795, \quad 0.3605)$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C. = (0.2795, \quad 0.3605)}$$

**b) Usando la información que suministra la encuesta, ¿qué tamaño muestral sería necesario para estimar la proporción de familias de la ciudad que comprarían los productos de la empresa, con un error menor que el 2% y con una confianza del 95%?** Actualizamos los datos según los nuevos requisitos del apartado: - Error máximo: $E \lt 0.02$ - Confianza: $95\% \implies 1 - \alpha = 0.95 \implies \alpha/2 = 0.025$ - Valor crítico para $95\%$: $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 0.975$, lo que corresponde a $z_{\alpha/2} = 1.96$ - Proporción estimada (según la encuesta anterior): $\hat{p} = 0.32$ y $\hat{q} = 0.68$ 💡 **Tip:** Si no tuviéramos información previa sobre la proporción, usaríamos el caso más desfavorable $\hat{p} = 0.5$, pero aquí el enunciado nos pide usar la información de la encuesta.

Partimos de la fórmula del error y despejamos $n$: $$E = z_{\alpha/2} \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies E^2 = z_{\alpha/2}^2 \frac{\hat{p}\hat{q}}{n} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.96)^2 \cdot 0.32 \cdot 0.68}{(0.02)^2}$$ $$n = \frac{3.8416 \cdot 0.2176}{0.0004} = \frac{0.83593216}{0.0004} = 2089.8304$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y queremos que el error sea **menor** que el $2\%$, debemos redondear siempre al entero superior. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 2090 \text{ familias}}$$