Área entre parábolas y volumen de grava

**a) Representar la superficie.** Para representar la superficie y calcular su área, el primer paso es encontrar los puntos donde las dos funciones se cortan. Igualamos ambas expresiones: $$(x-2)^2 = -x^2 + 4$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$: $$x^2 - 4x + 4 = -x^2 + 4$$ Pasamos todos los términos a un lado de la ecuación para resolverla: $$x^2 + x^2 - 4x + 4 - 4 = 0$$ $$2x^2 - 4x = 0$$ Factorizamos para hallar las soluciones: $$2x(x - 2) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $2x = 0 \implies \mathbf{x = 0}$ 2. $x - 2 = 0 \implies \mathbf{x = 2}$ 💡 **Tip:** Los puntos de corte nos indican los límites de integración para el cálculo del área en el apartado siguiente. $$\boxed{x_1 = 0, \quad x_2 = 2}$$

Utilizamos los puntos de corte y la naturaleza de las funciones para representarlas: - $f(x) = (x-2)^2$ es una parábola con vértice en $(2, 0)$ que abre hacia arriba. - $g(x) = -x^2 + 4$ es una parábola con vértice en $(0, 4)$ que abre hacia abajo. Ambas se cortan en $x=0$ (punto $(0,4)$) y en $x=2$ (punto $(2,0)$). En el intervalo $(0, 2)$, podemos ver que $g(x) \gt f(x)$ evaluando en un punto intermedio como $x=1$: - $g(1) = -1^2 + 4 = 3$ - $f(1) = (1-2)^2 = 1$ Como $3 \gt 1$, la curva superior es $y = -x^2 + 4$.

**b) ¿Cuánto mide?** El área de la superficie limitada por dos curvas se calcula mediante la integral definida de la función "techo" menos la función "suelo" entre los puntos de corte. $$Área = \int_{0}^{2} [(-x^2 + 4) - (x-2)^2] \, dx$$ Simplificamos la expresión de dentro de la integral antes de calcularla: $$(-x^2 + 4) - (x^2 - 4x + 4) = -x^2 + 4 - x^2 + 4x - 4 = -2x^2 + 4x$$ Por lo tanto, debemos resolver: $$A = \int_{0}^{2} (-2x^2 + 4x) \, dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el área siempre debe ser un valor positivo. Si al calcularla obtienes un número negativo, probablemente has intercambiado el orden de las funciones.

Calculamos la primitiva de la función: $$\int (-2x^2 + 4x) \, dx = -\frac{2x^3}{3} + \frac{4x^2}{2} = -\frac{2x^3}{3} + 2x^2$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** entre los límites $0$ y $2$: $$A = \left[ -\frac{2x^3}{3} + 2x^2 \right]_{0}^{2}$$ Sustituimos el límite superior: $$F(2) = -\frac{2(2)^3}{3} + 2(2)^2 = -\frac{16}{3} + 8 = \frac{-16 + 24}{3} = \frac{8}{3}$$ Sustituimos el límite inferior: $$F(0) = -\frac{2(0)^3}{3} + 2(0)^2 = 0$$ Restamos ambos valores: $$A = F(2) - F(0) = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} \approx 2,67 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado (área):** $$\boxed{Área = \frac{8}{3} \text{ m}^2 \approx 2,67 \text{ m}^2}$$

**c) Si se recubre con grava, con una altura de 10 centímetros, ¿cuántos metros cúbicos de grava son necesarios para recubrir la superficie?** Para hallar el volumen, multiplicamos el área de la superficie por la altura de la capa de grava. Es fundamental trabajar en las mismas unidades. La altura es $h = 10 \text{ cm}$. Pasamos a metros: $$h = 10 \text{ cm} \cdot \frac{1 \text{ m}}{100 \text{ cm}} = 0,1 \text{ m}$$ El volumen $V$ es: $$V = Área \cdot altura$$ $$V = \frac{8}{3} \text{ m}^2 \cdot 0,1 \text{ m} = \frac{0,8}{3} \text{ m}^3$$ Realizamos la operación: $$V = \frac{8}{30} = \frac{4}{15} \approx 0,267 \text{ m}^3$$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que las unidades de longitud, área y volumen sean coherentes (en este caso, todo a metros). ✅ **Resultado (volumen):** $$\boxed{V = \frac{4}{15} \text{ m}^3 \approx 0,267 \text{ m}^3}$$