Estudio de la contaminación por CO2

**a) El momento en el que el nivel de contaminación es máximo.** Para encontrar el momento en el que el nivel de contaminación es máximo, debemos estudiar los extremos relativos de la función $C(t)$ en el intervalo $[0, 10]$. El primer paso es calcular la derivada de la función: $$C(t) = -\frac{2}{5}t^2 + 4t + 50$$ Derivamos término a término: $$C'(t) = -\frac{2}{5} \cdot 2t + 4 = -\frac{4}{5}t + 4$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para encontrar los puntos críticos donde puede haber un máximo o un mínimo, debemos igualar la primera derivada a cero ($C'(t) = 0$). $$\boxed{C'(t) = -\frac{4}{5}t + 4}$$

Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $t$: $$-\frac{4}{5}t + 4 = 0 \implies 4 = \frac{4}{5}t \implies t = \frac{4 \cdot 5}{4} = 5$$ Para confirmar que en $t = 5$ hay un máximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$C''(t) = -\frac{4}{5}$$ Como $C''(5) = -\frac{4}{5} \lt 0$, confirmamos que en $t = 5$ la función presenta un **máximo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t = 5 \text{ años}}$$

**b) ¿Cuál es el nivel máximo? ¿Cuál es el nivel mínimo y cuándo se alcanza?** Para hallar el nivel máximo, sustituimos el valor $t = 5$ en la función original $C(t)$: $$C(5) = -\frac{2}{5}(5)^2 + 4(5) + 50$$ $$C(5) = -\frac{2}{5}(25) + 20 + 50 = -10 + 20 + 50 = 60$$ 💡 **Tip:** Al sustituir en la función original, obtenemos el valor de la variable dependiente (en este caso, el nivel de contaminación). ✅ **Resultado (Nivel máximo):** $$\boxed{C(5) = 60 \text{ unidades de } CO_2}$$

Como estamos trabajando en un intervalo cerrado $[0, 10]$, el nivel mínimo puede alcanzarse en los extremos del intervalo o en puntos críticos. Ya sabemos que en $t=5$ hay un máximo, así que evaluamos los extremos $t=0$ y $t=10$: Para $t = 0$: $$C(0) = -\frac{2}{5}(0)^2 + 4(0) + 50 = 50$$ Para $t = 10$: $$C(10) = -\frac{2}{5}(10)^2 + 4(10) + 50 = -\frac{2}{5}(100) + 40 + 50 = -40 + 40 + 50 = 50$$ El valor más bajo obtenido es $50$. ✅ **Resultado (Nivel mínimo):** $$\boxed{\text{El nivel mínimo es } 50 \text{ y se alcanza en } t = 0 \text{ y } t = 10 \text{ años}}$$

**c) De los diez años, ¿cuál ha sido el periodo de crecimiento?** El periodo de crecimiento corresponde al intervalo donde la derivada es positiva ($C'(t) \gt 0$). Analizamos el signo de $C'(t) = -\frac{4}{5}t + 4$ en el dominio $[0, 10]$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0, 5) & 5 & (5, 10)\\ \hline C'(t) & + & 0 & -\\ \hline C(t) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ - En el intervalo $(0, 5)$, si tomamos $t=1$: $C'(1) = -0.8 + 4 = 3.2 \gt 0$ (Creciente). - En el intervalo $(5, 10)$, si tomamos $t=6$: $C'(6) = -4.8 + 4 = -0.8 \lt 0$ (Decreciente). 💡 **Tip:** Una función crece cuando su pendiente (derivada) es positiva. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El periodo de crecimiento es el intervalo } (0, 5) \text{ años}}$$