Sistema de ecuaciones: Compra de bebidas y cálculo de impuestos

**a) Plantear el correspondiente sistema** Primero, definimos las incógnitas que representan el precio sin impuestos de cada tipo de bebida: - $x$: Importe de los refrescos (€) - $y$: Importe de las cervezas (€) - $z$: Importe de los vinos (€) Ahora, traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El importe total es de $500 \text{ €}$: $$x + y + z = 500$$ 2. El valor del vino es $80 \text{ €}$ menos que los refrescos y cerveza juntos: $$z = (x + y) - 80 \implies x + y - z = 80$$ 3. Los impuestos totales suman $103 \text{ €}$ (aplicamos el %, por ejemplo $5\% = 0,05$): $$0,05x + 0,20y + 0,30z = 103$$ 💡 **Tip:** Para trabajar con números enteros en la tercera ecuación, podemos multiplicarla por $100$: $$5x + 20y + 30z = 10300$$ Y si dividimos por $5$ para simplificar: $$x + 4y + 6z = 2060$$ El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 500 \\ x + y - z = 80 \\ x + 4y + 6z = 2060 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuánto ha pagado, sin impuestos, por cada tipo de bebida?** Para resolver el sistema, utilizaremos el método de reducción entre las dos primeras ecuaciones, ya que tienen coeficientes muy parecidos para $x$ e $y$. Si restamos la segunda ecuación de la primera: $$(x + y + z) - (x + y - z) = 500 - 80$$ $$x - x + y - y + z - (-z) = 420$$ $$2z = 420$$ $$z = \frac{420}{2} = 210$$ 💡 **Tip:** Al restar ecuaciones con las mismas variables $x$ e $y$, estas se eliminan directamente permitiéndonos hallar $z$ de forma inmediata. El precio del vino (sin impuestos) es **$210 \text{ €}$**.

Ahora sustituimos $z = 210$ en la primera y en la tercera ecuación simplificada para obtener un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas ($x$ e $y$): De la primera: $$x + y + 210 = 500 \implies x + y = 290$$ De la tercera simplificada ($x + 4y + 6z = 2060$): $$x + 4y + 6(210) = 2060$$ $$x + 4y + 1260 = 2060 \implies x + 4y = 800$$ Resolvemos restando la primera de la segunda: $$(x + 4y) - (x + y) = 800 - 290$$ $$3y = 510 \implies y = \frac{510}{3} = 170$$ Finalmente, calculamos $x$: $$x = 290 - y = 290 - 170 = 120$$ ✅ **Resultado (precios sin impuestos):** $$\boxed{\text{Refrescos: } 120 \text{ €}, \text{ Cervezas: } 170 \text{ €}, \text{ Vinos: } 210 \text{ €}}$$

**c) ¿Cuánto ha pagado, con impuestos, por cada tipo de bebida?** Para calcular el precio final, sumamos el impuesto correspondiente a cada importe base (o multiplicamos por el factor $1 + i$): 1. **Refrescos (5%):** $$120 + 0,05 \cdot 120 = 120 + 6 = 126 \text{ €}$$ 2. **Cervezas (20%):** $$170 + 0,20 \cdot 170 = 170 + 34 = 204 \text{ €}$$ 3. **Vinos (30%):** $$210 + 0,30 \cdot 210 = 210 + 63 = 273 \text{ €}$$ 💡 **Tip:** Podemos verificar el total sumando los impuestos calculados: $6 + 34 + 63 = 103 \text{ €}$. El cálculo es correcto. ✅ **Resultado (precios con impuestos):** $$\boxed{\text{Refrescos: } 126 \text{ €}, \text{ Cervezas: } 204 \text{ €}, \text{ Vinos: } 273 \text{ €}}$$