Contraste de hipótesis para la proporción

**a) Con una significación del 4%, ¿es la información muestral suficiente para rechazar que la proporción sigue siendo del 38% e inclinarnos por que dicha proporción ha aumentado?** Primero, definimos la variable y las hipótesis del contraste. Queremos contrastar si la proporción poblacional $p$ ha aumentado respecto al valor histórico. - **Hipótesis nula ($H_0$):** La proporción se mantiene igual. $H_0: p = 0.38$. - **Hipótesis alternativa ($H_1$):** La proporción ha aumentado. $H_1: p \gt 0.38$. Se trata de un **contraste unilateral a la derecha**. Los datos del problema son: - Proporción poblacional bajo $H_0$: $p_0 = 0.38$. - Tamaño de la muestra: $n = 1044$. - Éxitos en la muestra: $x = 429$. - Nivel de significación: $\alpha = 0.04$. 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula siempre contiene el signo de igualdad, mientras que la alternativa indica la sospecha del investigador (en este caso, que ha aumentado).

Calculamos la proporción muestral $\hat{p}$: $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{429}{1044} \approx 0.4109.$$ Como el tamaño de la muestra es grande ($n \cdot p_0 \gt 5$ y $n \cdot q_0 \gt 5$), la proporción muestral sigue una distribución normal. El estadístico de contraste $Z$ se calcula como: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}, \quad \text{donde } q_0 = 1 - p_0 = 0.62.$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.4109 - 0.38}{\sqrt{\dfrac{0.38 \cdot 0.62}{1044}}} = \frac{0.0309}{\sqrt{0.00022567}} \approx \frac{0.0309}{0.01502} \approx 2.057.$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sqrt{\frac{p_0 q_0}{n}}$ representa la desviación típica de la distribución de las proporciones muestrales.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.04$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que: $$P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.04 \implies P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.04 = 0.96.$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal estándar $N(0,1)$ el valor más cercano a $0.96$: - Para $z = 1.75$, la probabilidad es $0.9599$. - Por tanto, **$z_{0.04} \approx 1.75$**. La **región crítica** (zona de rechazo) es el intervalo $(1.75, +\infty)$. $$\boxed{z_{crit} = 1.75}$$

Comparamos el valor observado del estadístico ($Z_{obs}$) con el valor crítico ($z_{crit}$): $$Z_{obs} = 2.057 \quad \text{y} \quad z_{crit} = 1.75.$$ Como $2.057 \gt 1.75$, el estadístico cae dentro de la **región de rechazo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Sí, a un nivel del 4% hay evidencia suficiente para rechazar } H_0 \text{ y concluir que la proporción ha aumentado.}}$$

**b) ¿Cuál es la conclusión con una significación del 1%?** Ahora cambiamos el nivel de significación a $\alpha = 0.01$. El estadístico de contraste calculado antes sigue siendo el mismo ($Z_{obs} \approx 2.057$). Buscamos el nuevo valor crítico $z_{0.01}$: $$P(Z \gt z_{0.01}) = 0.01 \implies P(Z \le z_{0.01}) = 0.99.$$ Buscando en la tabla $N(0,1)$: - El valor más cercano a $0.99$ es $0.9901$, que corresponde a **$z_{0.01} = 2.33$**. La nueva **región crítica** es el intervalo $(2.33, +\infty)$. Comparamos: $$Z_{obs} = 2.057 \quad \lt \quad z_{crit} = 2.33.$$ Como el valor observado no entra en la región de rechazo, **no podemos rechazar la hipótesis nula**. 💡 **Tip:** Al disminuir el nivel de significación (de 4% a 1%), somos más estrictos para rechazar $H_0$. En este caso, la evidencia muestral ya no es lo suficientemente fuerte para el 1%. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Con una significación del 1%, no hay evidencia suficiente para afirmar que la proporción ha aumentado.}}$$