Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral

**a) Estimar el gasto medio poblacional con una confianza del 95%.** En primer lugar, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 121$ - Media muestral: $\bar{x} = 286$ € - Desviación típica muestral: $s = 65$ € Como el tamaño de la muestra es suficientemente grande ($n \gt 30$), podemos aproximar la desviación típica poblacional $\sigma$ por la desviación típica de la muestra: $$\sigma \approx s = 65$$ 💡 **Tip:** En inferencia estadística, si no conocemos la desviación típica de la población, usamos la de la muestra siempre que esta sea grande ($n \ge 30$).

Para un nivel de confianza del $95\%$, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$: 1. Nivel de confianza: $1 - \alpha = 0,95$ 2. Nivel de significación: $\alpha = 1 - 0,95 = 0,05$ 3. Calculamos $\alpha/2$: $\alpha/2 = 0,025$ Buscamos el valor $z_{\alpha/2}$ tal que $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \alpha/2$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,025 = 0,975$$ Buscando en la tabla de la distribución Normal $N(0,1)$, encontramos que para una probabilidad de $0,975$, el valor es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1,96}$$ 💡 **Tip:** El valor $1,96$ es muy común para el $95\%$ de confianza. Recuerda siempre comprobarlo en la tabla si tienes dudas.

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 1,96 \cdot \frac{65}{\sqrt{121}} = 1,96 \cdot \frac{65}{11} = 1,96 \cdot 5,91 = 11,58$$ Ahora construimos el intervalo: $$I.C. = (286 - 11,58; 286 + 11,58) = (274,42; 297,58)$$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (274,42; 297,58)}$$

**b) ¿De qué tamaño debería ser la muestra para, con una confianza del 99%, cometer un error menor de 10 euros en dicha estimación.** Repetimos el proceso para un nivel de confianza del $99\%$: 1. $1 - \alpha = 0,99 \implies \alpha = 0,01$ 2. $\alpha/2 = 0,005$ 3. $P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,005 = 0,995$ Buscando en la tabla $N(0,1)$, el valor de probabilidad $0,995$ se encuentra entre $z=2,57$ y $z=2,58$. Usaremos el valor intermedio: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 2,575}$$ (Nota: Si utilizas $2,58$, el resultado también se suele considerar válido en exámenes de Bachillerato).

Queremos que el error sea menor que $10$ euros ($E \lt 10$). Usamos la fórmula del error para despejar $n$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \implies \sqrt{n} = \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \implies n = \left( \frac{z_{\alpha/2} \cdot \sigma}{E} \right)^2$$ Sustituimos los valores: $$n = \left( \frac{2,575 \cdot 65}{10} \right)^2 = (16,7375)^2 = 280,14$$ Como el tamaño de la muestra debe ser un número entero y el error debe ser **menor** que $10$, debemos redondear siempre al siguiente número entero superior. 💡 **Tip:** Al calcular el tamaño muestral, si el resultado tiene decimales, siempre redondeamos hacia arriba para asegurar que el error sea inferior al límite dado. ✅ **Resultado (Tamaño de muestra):** $$\boxed{n = 281 \text{ alumnos}}$$