Aproximación de la Binomial por la Normal

Estamos ante un experimento aleatorio donde cada profesor tiene o no ordenador portátil. Se trata de una **distribución Binomial**. Definimos la variable aleatoria: $X$: número de profesores que tienen ordenador portátil de un total de $n = 300$. Los parámetros son: - $n = 300$ (número de ensayos). - $p = \frac{8}{10} = 0.8$ (probabilidad de éxito). - $q = 1 - p = 0.2$ (probabilidad de fracaso). Por tanto, $X \sim B(300, 0.8)$. Debido a que $n$ es un valor muy grande, el cálculo directo de la binomial sería muy complejo. Vamos a ver si podemos aproximar por una **distribución Normal**. Comprobamos las condiciones de aproximación: 1. $n \cdot p = 300 \cdot 0.8 = 240 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 300 \cdot 0.2 = 60 \gt 5$ Como se cumplen ambas, aproximamos $X$ por una variable normal $X'$ con parámetros: - Media $\mu = n \cdot p = 240$ - Desviación típica $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{300 \cdot 0.8 \cdot 0.2} = \sqrt{48} \approx 6.93$ Entonces: $X \sim B(300, 0.8) \approx X' \sim N(240, 6.93)$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aproximar una Binomial por una Normal, tanto $np$ como $nq$ deben ser mayores que 5. Al pasar de una distribución discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**.

**a) Más de 250.** Queremos calcular $P(X \gt 250)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \gt 250) = P(X' \ge 250.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P\left(Z \ge \frac{250.5 - 240}{6.93}\right) = P\left(Z \ge \frac{10.5}{6.93}\right) = P(Z \ge 1.52)$$ Como la tabla solo da valores para $P(Z \le z)$, usamos la propiedad del complementario: $$P(Z \ge 1.52) = 1 - P(Z \le 1.52)$$ Buscando en la tabla el valor $1.52$: $$1 - 0.9357 = 0.0643$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \gt 250) = 0.0643}$$ 💡 **Tip:** Al decir 'más de 250' en la discreta, no incluimos el 250. En la corrección de Yates, para incluir el área a la derecha de un valor no incluido, empezamos desde el valor $+0.5$.

**b) Menos de 230.** Queremos calcular $P(X \lt 230)$. Aplicamos la corrección de continuidad: $$P(X \lt 230) = P(X' \le 229.5)$$ Tipificamos la variable: $$P\left(Z \le \frac{229.5 - 240}{6.93}\right) = P\left(Z \le \frac{-10.5}{6.93}\right) = P(Z \le -1.52)$$ Por simetría de la campana de Gauss: $$P(Z \le -1.52) = P(Z \ge 1.52) = 1 - P(Z \le 1.52)$$ Calculamos con el valor de la tabla anterior: $$1 - 0.9357 = 0.0643$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \lt 230) = 0.0643}$$

**c) Más de 220 y menos de 255.** Queremos calcular $P(220 \lt X \lt 255)$. Aplicamos la corrección de continuidad en ambos extremos: $$P(220.5 \le X' \le 254.5)$$ Tipificamos ambos valores: - Para 220.5: $Z_1 = \frac{220.5 - 240}{6.93} = \frac{-19.5}{6.93} \approx -2.81$ - Para 254.5: $Z_2 = \frac{254.5 - 240}{6.93} = \frac{14.5}{6.93} \approx 2.09$ Calculamos la probabilidad del intervalo: $$P(-2.81 \le Z \le 2.09) = P(Z \le 2.09) - P(Z \le -2.81)$$ Sabemos que $P(Z \le -2.81) = 1 - P(Z \le 2.81)$. Sustituimos los valores de la tabla: $$P(Z \le 2.09) - (1 - P(Z \le 2.81)) = 0.9817 - (1 - 0.9975)$$ $$0.9817 - 0.0025 = 0.9792$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(220 \lt X \lt 255) = 0.9792}$$ 💡 **Tip:** Para calcular $P(a \lt Z \lt b)$, siempre restamos la probabilidad del extremo superior menos la del inferior: $P(Z \le b) - P(Z \le a)$.