Estudio de la evolución de afiliados a un partido político

**a) ¿Cuántos afiliados había en el año 2000?** El enunciado nos indica que $x$ representa los años transcurridos desde la creación en el año 2000. Por tanto, el año 2000 corresponde al instante inicial, es decir, **$x = 0$**. Para hallar el número de afiliados, sustituimos $x = 0$ en la función $A(x)$: $$A(0) = 0^3 - 8(0)^2 + 13(0) + 294 = 294$$ Como la función $A(x)$ viene expresada en **miles de afiliados**, multiplicamos el resultado por 1000: $$294 \times 1000 = 294.000$$ 💡 **Tip:** Lee siempre con atención las unidades del enunciado. En este caso, $A(x)$ está en "miles de afiliados", por lo que el valor numérico debe interpretarse correctamente. ✅ **Resultado:** $$\boxed{294.000 \text{ afiliados}}$$

**b) Calcular los máximos y mínimos de la función.** Para hallar los extremos relativos (máximos y mínimos), primero calculamos la derivada de la función $A(x)$ para encontrar los puntos críticos donde la pendiente es cero. Derivamos la función polinómica término a término: $$A'(x) = 3x^2 - 16x + 13$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de derivación para potencias: si $f(x) = x^n$, entonces $f'(x) = n \cdot x^{n-1}$. $$\boxed{A'(x) = 3x^2 - 16x + 13}$$

Igualamos la primera derivada a cero para encontrar los valores de $x$ que podrían ser máximos o mínimos: $$3x^2 - 16x + 13 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado usando la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{(-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 13}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 156}}{6}$$ $$x = \frac{16 \pm \sqrt{100}}{6} = \frac{16 \pm 10}{6}$$ Obtenemos dos soluciones: 1. $x_1 = \dfrac{16 + 10}{6} = \dfrac{26}{6} = \dfrac{13}{3} \approx 4,33$ 2. $x_2 = \dfrac{16 - 10}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ Los puntos críticos son **$x = 1$** y **$x = \dfrac{13}{3}$**.

Para clasificar estos puntos, utilizamos el criterio de la segunda derivada: $$A''(x) = 6x - 16$$ Evaluamos en los puntos críticos: - Para $x = 1$: $$A''(1) = 6(1) - 16 = -10 \lt 0$$ Al ser negativa, hay un **máximo relativo** en $x = 1$. - Para $x = \dfrac{13}{3}$: $$A''\left(\frac{13}{3}\right) = 6\left(\frac{13}{3}\right) - 16 = 26 - 16 = 10 \gt 0$$ Al ser positiva, hay un **mínimo relativo** en $x = \dfrac{13}{3}$. Calculamos las ordenadas (afiliados): $A(1) = 1 - 8 + 13 + 294 = 300$ $A(13/3) = (13/3)^3 - 8(13/3)^2 + 13(13/3) + 294 \approx 281,48$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Máximo en } (1, 300) \text{ y Mínimo en } \left(\frac{13}{3}, \approx 281,48\right)}$$

**c) ¿En qué años decrece el número de afiliados?** Una función decrece en los intervalos donde su primera derivada es negativa ($A'(x) \lt 0$). Utilizamos los puntos críticos hallados para dividir el dominio ($x \ge 0$) en intervalos y estudiar el signo de $A'(x)$. $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 1) & 1 & (1, 13/3) & 13/3 & (13/3, +\infty)\\ \hline A'(x) & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline A(x) & \text{Creciente} & \text{Máximo} & \text{Decreciente} & \text{Mínimo} & \text{Creciente} \end{array}$$ El número de afiliados decrece en el intervalo $(1, 13/3)$. Dado que $x$ son años desde el 2000: - $x = 1$ corresponde al año 2001. - $x = 13/3 \approx 4,33$ corresponde a algún momento del año 2004 (aproximadamente en mayo). 💡 **Tip:** Para saber el signo en un intervalo, elige un valor cualquiera del mismo y sustituye en $A'(x)$. Por ejemplo, en $(1, 4,33)$ podemos elegir $x=2$: $A'(2) = 3(2^2) - 16(2) + 13 = 12 - 32 + 13 = -7 \lt 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Decrece entre los años } x=1 \text{ y } x=\frac{13}{3} \text{ (aprox. entre 2001 y mayo de 2004)}}$$