Optimización de la producción de televisores

**¿Qué cantidad de televisores de cada tipo ha de producirse para que el beneficio sea máximo?** En primer lugar, identificamos las incógnitas del problema basándonos en lo que nos preguntan: - $x$: número de televisores del tipo A. - $y$: número de televisores del tipo B. El objetivo es maximizar el beneficio total. Según el enunciado, el beneficio por cada televisor A es de $60\text{ €}$ y por cada B es de $55\text{ €}$. Por tanto, definimos la **función objetivo**: $$B(x, y) = 60x + 55y$$ 💡 **Tip:** Las variables siempre representan cantidades físicas (en este caso, objetos), por lo que deben ser números no negativos ($x \ge 0, y \ge 0$).

A continuación, traducimos las limitaciones del enunciado en un sistema de inecuaciones: 1. **Horas de máquina:** El tipo A usa $2\text{ h}$ y el B usa $3\text{ h}$. El total no puede superar las $300\text{ h}$. $$2x + 3y \le 300$$ 2. **Horas a mano:** El tipo A usa $0.5\text{ h}$ (media hora) y el B usa $0.25\text{ h}$ (un cuarto de hora). El total es de $60\text{ h}$. $$0.5x + 0.25y \le 60$$ Para trabajar con números enteros, podemos multiplicar por $4$ toda la inecuación: $$2x + y \le 240$$ 3. **Producción mínima:** Se han de fabricar al menos $90$ televisores entre los dos tipos. $$x + y \ge 90$$ 4. **No negatividad:** No se pueden fabricar televisores negativos. $$x \ge 0, y \ge 0$$ El sistema de restricciones queda: $$\begin{cases} 2x + 3y \le 300 \\ 2x + y \le 240 \\ x + y \ge 90 \\ x, y \ge 0 \end{cases}$$

Representamos gráficamente las rectas asociadas a las restricciones para delimitar la región factible: - $r_1: 2x + 3y = 300$. Pasa por $(0, 100)$ y $(150, 0)$. - $r_2: 2x + y = 240$. Pasa por $(0, 240)$ y $(120, 0)$. - $r_3: x + y = 90$. Pasa por $(0, 90)$ y $(90, 0)$. La región factible es el polígono cuyos puntos cumplen todas las condiciones a la vez.

Los vértices del polígono son los puntos donde se cruzan las rectas. Calculamos sus coordenadas resolviendo los sistemas: - **Vértice A:** Intersección de $x=0$ y $x+y=90 \implies A(0, 90)$. - **Vértice B:** Intersección de $x=0$ y $2x+3y=300 \implies B(0, 100)$. - **Vértice C:** Intersección de $2x+3y=300$ y $2x+y=240$. Restando las ecuaciones: $(2x+3y) - (2x+y) = 300 - 240 \implies 2y = 60 \implies y=30$. Sustituyendo en la segunda: $2x + 30 = 240 \implies 2x = 210 \implies x=105$. Luego $C(105, 30)$. - **Vértice D:** Intersección de $2x+y=240$ y $y=0 \implies 2x=240 \implies D(120, 0)$. - **Vértice E:** Intersección de $x+y=90$ y $y=0 \implies E(90, 0)$. Los vértices son: **$A(0, 90), B(0, 100), C(105, 30), D(120, 0)$** y **$E(90, 0)$**.

Evaluamos la función objetivo $B(x, y) = 60x + 55y$ en cada uno de los vértices hallados: - $B(A) = 60(0) + 55(90) = 4950\text{ €}$ - $B(B) = 60(0) + 55(100) = 5500\text{ €}$ - $B(C) = 60(105) + 55(30) = 6300 + 1650 = 7950\text{ €}$ - $B(D) = 60(120) + 55(0) = 7200\text{ €}$ - $B(E) = 60(90) + 55(0) = 5400\text{ €}$ El valor máximo se alcanza en el punto $C(105, 30)$. 💡 **Tip:** En programación lineal, si la región factible es un polígono cerrado y acotado, el máximo y el mínimo siempre se encuentran en uno de sus vértices. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Se deben producir 105 televisores tipo A y 30 televisores tipo B para un beneficio máximo de 7950 euros.}}$$