Contraste de hipótesis e intervalo de confianza para el gasto medio

Para resolver ambos apartados, primero extraemos la información proporcionada por el enunciado sobre la muestra y la población: * Media poblacional a contrastar: $\mu_0 = 210$ euros. * Tamaño de la muestra: $n = 60$ niños. * Media muestral obtenida: $\bar{x} = 225$ euros. * Desviación típica (poblacional o muestral, ya que $n$ es grande): $\sigma = 20$ euros. Como el tamaño de la muestra es grande ($n \ge 30$), podemos utilizar la aproximación a la distribución normal para la media muestral: $$\bar{X} \sim N\left(\mu, \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$ 💡 **Tip:** Cuando el tamaño de la muestra $n$ es mayor o igual a 30, el Teorema Central del Límite nos asegura que la media muestral sigue una distribución normal, incluso si la población original no lo es.

**a) Con un nivel de significación del 5%, ¿se acepta que el gasto medio actual sigue siendo de 210 euros?** Planteamos las hipótesis del contraste: * **Hipótesis nula ($H_0$):** $\mu = 210$ (El gasto medio no ha cambiado). * **Hipótesis alternativa ($H_1$):** $\mu \neq 210$ (El gasto medio ha cambiado). Se trata de un **contraste bilateral** (dos colas) porque queremos saber si el valor es diferente de 210, ya sea por exceso o por defecto. El nivel de significación es $\alpha = 0,05$.

Para un nivel de significación $\alpha = 0,05$ en un contraste bilateral, buscamos el valor de $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,025 = 0,975$. Consultando la tabla de la normal $N(0,1)$: $$z_{\alpha/2} = 1,96$$ La **zona de aceptación** para la media muestral es el intervalo: $$\left( \mu_0 - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \mu_0 + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Calculamos el error estándar: $$\text{Error estándar} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{20}{\sqrt{60}} \approx \frac{20}{7,746} \approx 2,582$$ Sustituimos: $$\left( 210 - 1,96 \cdot 2,582, 210 + 1,96 \cdot 2,582 \right) = (210 - 5,06, 210 + 5,06) = (204,94, 215,06)$$ 💡 **Tip:** Si el valor de nuestra media muestral $\bar{x}$ cae dentro de este intervalo, aceptamos $H_0$.

Comparamos nuestra media muestral $\bar{x} = 225$ con la zona de aceptación calculada $(204,94, 215,06)$. Observamos que: $$225 \notin (204,94, 215,06)$$ El valor de la muestra está muy alejado de la zona de aceptación (cae en la zona de rechazo). **Conclusión:** Con un nivel de significación del 5%, rechazamos la hipótesis nula. Por lo tanto, **no se acepta que el gasto medio actual siga siendo de 210 euros**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta, el gasto medio ha cambiado.}}$$

**b) Obtener un intervalo de confianza para el gasto medio con una confianza del 90%.** Para un nivel de confianza del $90\%$, tenemos: $$1 - \alpha = 0,90 \implies \alpha = 0,10 \implies \frac{\alpha}{2} = 0,05$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que $p(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0,05 = 0,95$. En la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de 0,95 está entre 1,64 y 1,65. Usualmente se toma: $$z_{\alpha/2} = 1,645$$ 💡 **Tip:** Recuerda los valores críticos más comunes: - $90\% \to z_{\alpha/2} = 1,645$ - $95\% \to z_{\alpha/2} = 1,96$ - $99\% \to z_{\alpha/2} = 2,575$

La fórmula del intervalo de confianza para la media es: $$I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ Utilizamos los datos de la muestra actual: $\bar{x} = 225$ $z_{\alpha/2} = 1,645$ $\frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2,582$ Calculamos el error máximo admisible ($E$): $$E = 1,645 \cdot 2,582 \approx 4,247$$ Calculamos los extremos del intervalo: * Límite inferior: $225 - 4,247 = 220,753$ * Límite superior: $225 + 4,247 = 229,247$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I.C. = (220,75, 229,25)}$$ *(Redondeado a dos decimales)*