Contraste de hipótesis y tamaño muestral para la proporción

**a) Con un nivel de significación del 2%, ¿se acepta que, como mínimo, el 45% de los conductores suspendería un examen teórico?** Primero, definimos la proporción poblacional $p$ como la probabilidad de que un conductor suspenda el examen. Según el enunciado, queremos contrastar si esta proporción es, al menos, del $45\%$. Planteamos las hipótesis: - Hipótesis nula ($H_0$): $p \ge 0.45$ (La creencia es cierta). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $p \lt 0.45$ (La proporción real es menor). Se trata de un **contraste unilateral a la izquierda**. Identificamos los datos de la muestra: - Tamaño de la muestra: $n = 200$. - Conductores que suspendieron: $x = 70$. - Proporción muestral: $\hat{p} = \dfrac{70}{200} = 0.35$. - Proporción bajo estudio: $p_0 = 0.45$ (y $q_0 = 1 - p_0 = 0.55$). - Nivel de significación: $\alpha = 0.02$. 💡 **Tip:** En los contrastes de "como mínimo" o "al menos", la hipótesis nula incluye el signo $\ge$ y la zona de rechazo se sitúa en la cola inferior (izquierda).

Para muestras grandes ($n \cdot p_0 \gt 5$ y $n \cdot q_0 \gt 5$), el estadístico de contraste sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$: $$Z = \frac{\hat{p} - p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0 \cdot q_0}{n}}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{0.35 - 0.45}{\sqrt{\dfrac{0.45 \cdot 0.55}{200}}} = \frac{-0.10}{\sqrt{\dfrac{0.2475}{200}}} = \frac{-0.10}{\sqrt{0.0012375}}$$ $$Z \approx \frac{-0.10}{0.035178} \approx -2.8427$$ $$\boxed{Z_{exp} \approx -2.84}$$

Para un nivel de significación $\alpha = 0.02$ en un contraste unilateral a la izquierda, buscamos el valor crítico $-z_{\alpha}$ tal que $P(Z \lt -z_{\alpha}) = 0.02$. En las tablas de la normal $N(0,1)$: $$P(Z \le z_{\alpha}) = 0.98 \implies z_{0.02} \approx 2.055$$ Por tanto, el valor crítico es **$z_c = -2.055$**. Comparamos el estadístico experimental con el valor crítico: $$Z_{exp} = -2.84 \lt -2.055$$ Como el valor obtenido cae en la **región de rechazo** (es más pequeño que el valor crítico), debemos rechazar la hipótesis nula. 💡 **Tip:** Si el estadístico de contraste es más extremo que el valor crítico, hay evidencia suficiente para rechazar $H_0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta que, como mínimo, el 45\% de los conductores suspendería el examen.}}$$

**b) Usando la información del estudio muestral anterior, ¿qué número de conductores sería necesario examinar para, con una confianza del 90%, obtener un intervalo de confianza de amplitud 0.04?** Datos necesarios: - Confianza: $1 - \alpha = 0.90 \implies \alpha = 0.10$. - Amplitud del intervalo ($A$): $0.04$. La amplitud es el doble del error máximo admisible ($A = 2E$), por lo que $E = \dfrac{0.04}{2} = 0.02$. - Proporción muestral previa: $\hat{p} = 0.35$ (y $\hat{q} = 0.65$). Primero, calculamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ para una confianza del $90\%$: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{0.10}{2} = 0.95$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, obtenemos **$z_{\alpha/2} = 1.645$**. 💡 **Tip:** El error $E$ es la mitad de la amplitud del intervalo. No olvides dividir por 2.

La fórmula para el tamaño muestral $n$ en la estimación de una proporción es: $$n = \left( \frac{z_{\alpha/2}}{E} \right)^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}$$ Sustituimos los valores calculados: $$n = \left( \frac{1.645}{0.02} \right)^2 \cdot 0.35 \cdot 0.65$$ $$n = (82.25)^2 \cdot 0.2275$$ $$n = 6765.0625 \cdot 0.2275 \approx 1539.05$$ Como el número de conductores debe ser un número entero, redondeamos siempre al alza para garantizar que el error no supere el máximo fijado. ✅ **Resultado:** $$\boxed{n = 1540 \text{ conductores}}$$