Rendimiento de trabajadores y optimización

**a) ¿Qué trabajador comienza el día con mayor rendimiento?** El comienzo del día corresponde al instante de tiempo $x = 0$. Para saber quién empieza con mayor rendimiento, evaluamos ambas funciones en ese punto: Para el primer trabajador ($f$): $$f(0) = -(0)^2 + 19(0) + 66 = 66 \text{ m/h}$$ Para el segundo trabajador ($g$): $$g(0) = -(0)^2 + 5(0) + 150 = 150 \text{ m/h}$$ Comparamos los resultados: $150 \gt 66$. 💡 **Tip:** El valor inicial de una función suele hallarse evaluando en el punto donde la variable independiente (tiempo) es cero. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El segundo trabajador comienza con mayor rendimiento (150 m/h)}}$$

**b) ¿Cuándo es máximo el rendimiento del primer trabajador?** Para hallar el máximo de $f(x) = -x^2 + 19x + 66$ en el intervalo $[0, 8]$, calculamos su derivada y buscamos los puntos críticos: $$f'(x) = -2x + 19$$ Igualamos a cero para encontrar el extremo relativo: $$-2x + 19 = 0 \implies 2x = 19 \implies x = 9,5$$ Analizamos la posición de este punto respecto a nuestro intervalo de trabajo $[0, 8]$: - El valor $x = 9,5$ está fuera del intervalo permitido ($0 \le x \le 8$). - Como la función es una parábola con el coeficiente de $x^2$ negativo ($a = -1$), sabemos que es cóncava hacia abajo y el vértice es su máximo absoluto. - Como el vértice está a la derecha del intervalo ($9,5 \gt 8$), la función $f(x)$ es estrictamente creciente en todo el intervalo $[0, 8]$. Por lo tanto, el máximo rendimiento se alcanza en el extremo derecho del intervalo, es decir, en **$x = 8$**. 💡 **Tip:** Si el punto crítico de una función cuadrática (vértice) cae fuera del dominio del problema, el máximo o mínimo se encontrará siempre en uno de los extremos del intervalo. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El rendimiento del primer trabajador es máximo a las 8 horas}}$$

**c) ¿Cuándo están rindiendo igual los dos trabajadores?** Para saber cuándo rinden igual, debemos igualar ambas funciones de rendimiento: $$f(x) = g(x)$$ $$-x^2 + 19x + 66 = -x^2 + 5x + 150$$ Observamos que los términos $-x^2$ se cancelan en ambos lados: $$19x + 66 = 5x + 150$$ Agrupamos las $x$ en un miembro y los números en otro: $$19x - 5x = 150 - 66$$ $$14x = 84$$ $$x = \frac{84}{14} = 6$$ El valor $x = 6$ pertenece al intervalo $[0, 8]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Rinden igual a las 6 horas de iniciada la jornada}}$$

**d) ¿Cuántos metros marca, en su jornada de 8 horas, el segundo trabajador?** Dado que el rendimiento $g(x)$ es la tasa de variación de los metros marcados respecto al tiempo ($m/h$), la cantidad total de metros marcados se obtiene calculando la integral definida de la función de rendimiento en el intervalo de tiempo dado $[0, 8]$: $$M = \int_{0}^{8} g(x) \, dx = \int_{0}^{8} (-x^2 + 5x + 150) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (-x^2 + 5x + 150) \, dx = -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 150x + C$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$M = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} + 150x \right]_{0}^{8}$$ $$M = \left( -\frac{8^3}{3} + \frac{5 \cdot 8^2}{2} + 150 \cdot 8 \right) - (0)$$ $$M = -\frac{512}{3} + \frac{320}{2} + 1200$$ $$M = -170,67 + 160 + 1200 = 1189,33 \text{ metros}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de una función de velocidad o rendimiento nos da el cambio total acumulado (en este caso, la distancia o metros marcados). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Marca } 1189,33 \text{ metros (o } \frac{3568}{3} \text{ m)}}$$