Tasa de producción de una cantera

**a) Representar la función.** La función $f(x)$ es una función definida a trozos donde cada rama es una función lineal (una recta). Vamos a analizar cada tramo en su dominio correspondiente: 1. **Primer tramo ($0 \le x \le 10$):** $f(x) = 50 + 3x$. Es un segmento de recta con pendiente positiva ($m=3$), lo que indica que la producción aumenta. Calculamos los puntos extremos: - Para $x = 0 \implies f(0) = 50 + 3(0) = 50$. Punto $(0, 50)$. - Para $x = 10 \implies f(10) = 50 + 3(10) = 80$. Punto $(10, 80)$. 2. **Segundo tramo ($x \gt 10$):** $f(x) = -2x + 100$. Es una semirrecta con pendiente negativa ($m=-2$), lo que indica que la producción disminuye. Calculamos algunos puntos: - En el límite $x \to 10 \implies f(10) = -2(10) + 100 = 80$. Como ambos tramos coinciden en el valor $80$ para $x=10$, la función es **continua**. - Para hallar el punto de corte con el eje $x$ (producción cero): $0 = -2x + 100 \implies x = 50$. Punto $(50, 0)$. 💡 **Tip:** Al representar funciones a trozos, comprueba siempre si los trozos "encajan" (continuidad) calculando el valor de la función en el punto de cambio de rama. ✅ **Representación:** La gráfica comienza en $(0,50)$, sube linealmente hasta $(10,80)$ y luego baja linealmente hasta $(50,0)$.

**b) ¿En qué momento es máxima la tasa de producción?** Observando las pendientes de las rectas: - En el intervalo $[0, 10]$, la pendiente es $+3$ (la función crece). - En el intervalo $(10, 50]$, la pendiente es $-2$ (la función decrece). Dado que la función crece hasta $x=10$ y a partir de ahí decrece, el valor máximo se alcanza justo en el punto de cambio de rama, es decir, en $x = 10$. Calculamos ese valor máximo: $$f(10) = 50 + 3(10) = 80$$ Como la tasa está en miles de toneladas, el máximo es de $80,000$ toneladas. 💡 **Tip:** En funciones lineales a trozos, los máximos y mínimos suelen encontrarse en los extremos de los intervalos o en los puntos de unión de las ramas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La producción es máxima a los 10 años}}$$

**c) ¿Cuándo es la tasa de producción igual a sesenta y dos mil toneladas?** La tasa de producción se da en miles de toneladas, por lo que debemos buscar los valores de $x$ para los cuales $f(x) = 62$. Debemos comprobar ambas ramas: 1. **Rama 1 ($0 \le x \le 10$):** $$50 + 3x = 62$$ $$3x = 62 - 50$$ $$3x = 12 \implies x = \frac{12}{3} = 4$$ Como $x=4$ está en el intervalo $[0, 10]$, es una solución válida. 2. **Rama 2 ($x \gt 10$):** $$-2x + 100 = 62$$ $$-2x = 62 - 100$$ $$-2x = -38 \implies x = \frac{-38}{-2} = 19$$ Como $x=19$ es mayor que $10$, es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{A los 4 años y a los 19 años}}$$

**d) ¿Al cabo de cuántos años se extingue la cantera?** La cantera se extingue cuando la tasa de producción anual es igual a cero, es decir, buscamos $x$ tal que $f(x) = 0$. Dado que la función empieza en $50$ y sube, la extinción solo puede ocurrir en la segunda rama (donde la producción decrece). Igualamos la segunda rama a cero: $$-2x + 100 = 0$$ $$100 = 2x$$ $$x = \frac{100}{2} = 50$$ 💡 **Tip:** El término "extinguirse" en problemas de contexto suele equivaler a encontrar la raíz de la función o el punto donde el valor se anula. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se extingue al cabo de 50 años}}$$