Problema de cestas de navidad: sistema de ecuaciones lineales

**a) Plantear el correspondiente sistema.** En primer lugar, definimos las incógnitas que representan las cantidades de cada tipo de cesta: - $x$: número de cestas de $60\text{€}$. - $y$: número de cestas de $80\text{€}$. - $z$: número de cestas de $120\text{€}$. A continuación, traducimos el enunciado a ecuaciones matemáticas: 1. El número total de cestas es $90$: $$x + y + z = 90$$ 2. El gasto total es de $6560\text{€}$, sumando el coste de cada tipo de cesta: $$60x + 80y + 120z = 6560$$ 3. Las cestas más caras ($z$) son un $10\%$ de las compradas (un $10\%$ de $90$): $$z = 0.10 \cdot 90$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para calcular el $10\%$ de una cantidad basta con multiplicar por $0.10$ o dividir por $10$. El sistema planteado es: $$\boxed{\begin{cases} x + y + z = 90 \\ 60x + 80y + 120z = 6560 \\ z = 9 \end{cases}}$$

**b) ¿Cuántas cestas de cada tipo compró la empresa?** Comenzamos resolviendo la parte más sencilla del sistema. De la tercera ecuación ya obtenemos directamente el valor de $z$: $$z = 0.10 \cdot 90 = 9$$ Esto significa que la empresa compró **9 cestas de 120€**. $$\boxed{z = 9}$$

Ahora sustituimos el valor $z = 9$ en las otras dos ecuaciones para encontrar $x$ e $y$: Sustituyendo en la primera ecuación: $$x + y + 9 = 90 \implies x + y = 90 - 9 \implies x + y = 81$$ Sustituyendo en la segunda ecuación: $$60x + 80y + 120(9) = 6560$$ $$60x + 80y + 1080 = 6560$$ $$60x + 80y = 6560 - 1080$$ $$60x + 80y = 5480$$ Para trabajar con números más pequeños, podemos simplificar esta última ecuación dividiendo todo entre $20$: $$\frac{60x}{20} + \frac{80y}{20} = \frac{5480}{20} \implies 3x + 4y = 274$$ 💡 **Tip:** Siempre que puedas, simplifica las ecuaciones dividiendo por el máximo común divisor para evitar errores de cálculo con números grandes.

Ahora resolvemos el sistema de dos ecuaciones restante: $$\begin{cases} x + y = 81 \\ 3x + 4y = 274 \end{cases}$$ Podemos usar el método de sustitución, despejando $x$ en la primera ecuación: $$x = 81 - y$$ Sustituimos este valor en la segunda ecuación: $$3(81 - y) + 4y = 274$$ $$243 - 3y + 4y = 274$$ $$y = 274 - 243$$ $$\boxed{y = 31}$$ Ahora calculamos $x$: $$x = 81 - 31 = 50$$ $$\boxed{x = 50}$$

Una vez hallados todos los valores, redactamos la solución final en el contexto del problema: - Compró **50 cestas** de $60\text{€}$. - Compró **31 cestas** de $80\text{€}$. - Compró **9 cestas** de $120\text{€}$. **Comprobación:** - Total cestas: $50 + 31 + 9 = 90$. (Correcto) - Gasto: $50(60) + 31(80) + 9(120) = 3000 + 2480 + 1080 = 6560\text{€}$. (Correcto) - Cestas caras: $9$ es el $10\%$ de $90$. (Correcto) ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{50 cestas de 60€, 31 de 80€ y 9 de 120€}}$$