Distribución Binomial y aproximación a la Normal

Para resolver este ejercicio, primero debemos identificar el tipo de variable aleatoria ante la que nos encontramos. Se trata de un experimento con dos posibles resultados (ser mujer o no serlo) que se repite $n=150$ veces de forma independiente. Por tanto, definimos la variable $X$ como: $X$: "Número de mujeres en una muestra de 150 estudiantes". Esta variable sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(n, p)$ donde: - $n = 150$ (número de ensayos). - $p = 0.62$ (probabilidad de éxito, en este caso, ser mujer). - $q = 1 - p = 1 - 0.62 = 0.38$ (probabilidad de fracaso). 💡 **Tip:** Una distribución binomial se utiliza cuando contamos el número de éxitos en $n$ pruebas independientes donde la probabilidad de éxito es constante.

**a) ¿Cuál es el número esperado de mujeres?** El número esperado en una distribución binomial coincide con la media ($\mu$) de la distribución. La fórmula para calcularla es: $$E[X] = \mu = n \cdot p$$ Sustituimos los valores de nuestro problema: $$E[X] = 150 \cdot 0.62 = 93$$ 💡 **Tip:** El valor esperado o esperanza matemática representa el valor promedio que esperaríamos obtener si repitiéramos el muestreo muchas veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{93 \text{ mujeres}}$$

Para los apartados b) y c), calcular las probabilidades con la fórmula de la Binomial sería extremadamente laborioso (tendríamos que sumar muchos términos). Por ello, comprobamos si podemos aproximar por una **distribución Normal**. Las condiciones de aproximación son: 1. $n \cdot p = 150 \cdot 0.62 = 93 \gt 5$ 2. $n \cdot q = 150 \cdot 0.38 = 57 \gt 5$ Como se cumplen ambas, podemos aproximar $X$ por una variable normal $X' \sim N(\mu, \sigma)$, donde: - $\mu = n \cdot p = 93$ - $\sigma = \sqrt{n \cdot p \cdot q} = \sqrt{150 \cdot 0.62 \cdot 0.38} = \sqrt{35.34} \approx 5.9447$ Por tanto, usaremos $X' \sim N(93, \; 5.94)$. 💡 **Tip:** Al pasar de una variable discreta (Binomial) a una continua (Normal), debemos aplicar la **corrección de continuidad de Yates**: $P(X = k) \approx P(k - 0.5 \le X' \le k + 0.5)$.

**b) ¿Cuál es la probabilidad de que, como mínimo, 100 sean mujeres?** Buscamos $P(X \ge 100)$. Aplicando la corrección de continuidad, esto equivale a: $$P(X \ge 100) \approx P(X' \ge 99.5)$$ Ahora tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ usando la fórmula $Z = \frac{X' - \mu}{\sigma}$: $$P(X' \ge 99.5) = P\left(Z \ge \frac{99.5 - 93}{5.94}\right) = P(Z \ge 1.09)$$ Como la tabla solo nos da valores de $P(Z \le z)$, usamos el suceso contrario: $$P(Z \ge 1.09) = 1 - P(Z \le 1.09)$$ Buscando en la tabla $1.0$ en la columna y $0.09$ en la fila, obtenemos $0.8621$: $$1 - 0.8621 = 0.1379$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 100) \approx 0.1379}$$

**c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya más de 85 y menos de 95 mujeres?** La pregunta nos pide $P(85 \lt X \lt 95)$. Dado que $X$ es una variable discreta (solo toma valores enteros), esto es equivalente a buscar la probabilidad de que $X$ esté entre 86 y 94, ambos inclusive: $$P(85 \lt X \lt 95) = P(86 \le X \le 94)$$ Aplicamos la corrección de continuidad en ambos extremos: - El límite inferior 86 baja a $85.5$. - El límite superior 94 sube a $94.5$. $$P(86 \le X \le 94) \approx P(85.5 \le X' \le 94.5)$$ Tipificamos ambos valores: $$P\left(\frac{85.5 - 93}{5.94} \le Z \le \frac{94.5 - 93}{5.94}\right) = P(-1.26 \le Z \le 0.25)$$ Descomponemos la probabilidad del intervalo: $$P(-1.26 \le Z \le 0.25) = P(Z \le 0.25) - P(Z \le -1.26)$$ Como $P(Z \le -1.26) = 1 - P(Z \le 1.26)$ por simetría: $$P(Z \le 0.25) - [1 - P(Z \le 1.26)]$$ Buscamos los valores en la tabla: - $P(Z \le 0.25) = 0.5987$ - $P(Z \le 1.26) = 0.8962$ Sustituimos: $$0.5987 - (1 - 0.8962) = 0.5987 - 0.1038 = 0.4949$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(85 \lt X \lt 95) \approx 0.4949}$$