Inferencia estadística: Intervalo de confianza y tamaño muestral para una proporción

**a) Calcular un intervalo de confianza para la proporción de vehículos de gasolina, con un nivel de confianza del 98%.** Primero, extraemos los datos que nos proporciona el enunciado para la muestra inicial: - Tamaño de la muestra: $n = 80$. - Número de vehículos de gasolina: $x = 56$. Calculamos la proporción muestral de vehículos de gasolina ($\hat{p}$): $$\hat{p} = \frac{x}{n} = \frac{56}{80} = 0.7$$ Calculamos el complementario (proporción de vehículos que no son de gasolina, $\hat{q}$): $$\hat{q} = 1 - \hat{p} = 1 - 0.7 = 0.3$$ 💡 **Tip:** En inferencia sobre proporciones, siempre trabajamos con $\hat{p}$ (éxito) y $\hat{q}$ (fracaso), cumpliéndose que $\hat{p} + \hat{q} = 1$.

Para un nivel de confianza del $98\%$, tenemos que $1 - \alpha = 0.98$. Calculamos el valor de $\alpha$ (nivel de significación): $$\alpha = 1 - 0.98 = 0.02 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.01$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que la probabilidad acumulada sea: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0.01 = 0.99$$ Consultando la tabla de la distribución Normal Estándar $N(0,1)$, observamos que para una probabilidad de $0.99$, el valor de $z$ más cercano es: $$\boxed{z_{\alpha/2} \approx 2.33}$$ 💡 **Tip:** Si el valor exacto no aparece en la tabla, toma el más cercano o haz la media entre los dos más próximos. En este caso, $2.33$ es el estándar para el $98\%$.

La fórmula del intervalo de confianza para la proporción es: $$I = \left( \hat{p} - z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \; , \; \hat{p} + z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \right)$$ Calculamos primero el error máximo admisible ($E$): $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.7 \cdot 0.3}{80}}$$ $$E = 2.33 \cdot \sqrt{\frac{0.21}{80}} = 2.33 \cdot \sqrt{0.002625} \approx 2.33 \cdot 0.05123 \approx 0.1194$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Extremo inferior: $0.7 - 0.1194 = 0.5806$ - Extremo superior: $0.7 + 0.1194 = 0.8194$ ✅ **Resultado (Intervalo de confianza):** $$\boxed{I = (0.5806, \; 0.8194)}$$

**b) Usando la información inicial, ¿cuál sería el tamaño muestral para estimar la proporción de vehículos de gasolina, con un error menor del 4% y con una confianza del 94%?** De la información inicial mantenemos los valores de la proporción: - $\hat{p} = 0.7$ - $\hat{q} = 0.3$ Nuevas condiciones requeridas: - Error máximo admisible: $E \lt 0.04$ (expresamos el $4\%$ en decimal). - Confianza: $94\% \implies 1 - \alpha = 0.94$.

Si el nivel de confianza es del $94\%$: $$1 - \alpha = 0.94 \implies \alpha = 0.06 \implies \frac{\alpha}{2} = 0.03$$ Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.03 = 0.97$$ Buscando en la tabla de la normal $N(0,1)$, el valor que corresponde a una probabilidad de $0.97$ es: $$\boxed{z_{\alpha/2} = 1.88}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que a mayor nivel de confianza, mayor es el valor de $z_{\alpha/2}$ y, por tanto, mayor será el tamaño de la muestra necesario.

Para hallar el tamaño de la muestra, despejamos $n$ de la fórmula del error: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}\hat{q}}{n}} \implies n = \frac{z_{\alpha/2}^2 \cdot \hat{p} \cdot \hat{q}}{E^2}$$ Sustituimos los valores: $$n = \frac{(1.88)^2 \cdot 0.7 \cdot 0.3}{(0.04)^2}$$ $$n = \frac{3.5344 \cdot 0.21}{0.0016} = \frac{0.742224}{0.0016} = 463.89$$ Como el tamaño muestral debe ser un número entero y el error debe ser **menor** del $4\%$, siempre debemos redondear al alza al siguiente entero. ✅ **Resultado (Tamaño muestral):** $$\boxed{n = 464 \text{ vehículos}}$$ 💡 **Tip:** En problemas de tamaño muestral, aunque el decimal sea pequeño (como .1), siempre redondeamos hacia arriba para garantizar que el error sea estrictamente menor que el límite pedido.