Contraste de hipótesis e intervalos de confianza para la media

**a) A partir de la información muestral y con una significación del 4%, ¿se sigue aceptando que la longitud media de la primera falange del pulgar es 2.54 cm. frente a que ha aumentado?** Primero, identificamos los datos proporcionados por el enunciado: - Media poblacional bajo la hipótesis nula: $\mu_0 = 2.54$ cm. - Desviación típica poblacional: $\sigma = 0.2$ cm. - Tamaño de la muestra: $n = 36$. - Media muestral observada: $\bar{x} = 2.63$ cm. - Nivel de significación: $\alpha = 0.04$. Planteamos las hipótesis del contraste. Como nos preguntan si la media "ha aumentado", realizaremos un **contraste unilateral derecho**: - Hipótesis nula ($H_0$): $\mu = 2.54$ (La longitud media no ha cambiado). - Hipótesis alternativa ($H_1$): $\mu \gt 2.54$ (La longitud media ha aumentado). 💡 **Tip:** En un contraste de hipótesis, la hipótesis nula ($H_0$) siempre contiene la igualdad, mientras que la alternativa ($H_1$) indica la sospecha o el cambio que queremos verificar.

Calculamos el valor del estadístico de contraste $Z$, que sigue una distribución normal estándar $N(0,1)$ si $H_0$ es cierta: $$Z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}$$ Sustituimos los valores: $$Z = \frac{2.63 - 2.54}{0.2 / \sqrt{36}} = \frac{0.09}{0.2 / 6} = \frac{0.09}{0.0333...} = 2.7$$ 💡 **Tip:** El denominador $\sigma / \sqrt{n}$ representa la desviación típica de la distribución de las medias muestrales, también llamada error estándar.

Para un nivel de significación $\alpha = 0.04$ en un contraste unilateral derecho, buscamos el valor crítico $z_{\alpha}$ tal que $P(Z \gt z_{\alpha}) = 0.04$. Esto equivale a buscar en la tabla de la normal $P(Z \le z_{\alpha}) = 1 - 0.04 = 0.96$. Buscando en la tabla de la distribución normal estándar $N(0,1)$: $$z_{0.96} \approx 1.75$$ La **región de rechazo** es el intervalo $(1.75, +\infty)$. Comparamos nuestro estadístico con el valor crítico: $$Z_{calc} = 2.7 \gt 1.75$$ Como el valor calculado cae dentro de la región de rechazo, **rechazamos $H_0$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se acepta que la media sea de 2.54 cm; hay evidencia de que ha aumentado.}}$$

**b) Obtener un intervalo de confianza, al 98%, para la longitud media de la primera falange del pulgar.** Para el apartado b, utilizamos la media muestral obtenida en 2008: $\bar{x} = 2.63$ cm. El nivel de confianza es del $98\%$, por lo que: $$1 - \alpha = 0.98 \implies \alpha = 0.02$$ Repartimos el error en las dos colas de la distribución: $\alpha/2 = 0.01$. Buscamos el valor crítico $z_{\alpha/2}$ tal que: $$P(Z \le z_{\alpha/2}) = 1 - 0.01 = 0.99$$ Buscando en las tablas de la normal estándar: $$z_{\alpha/2} = 2.33$$ 💡 **Tip:** El intervalo de confianza para la media poblacional $\mu$ con $\sigma$ conocida viene dado por la fórmula: $I.C. = \left( \bar{x} - z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$.

Calculamos el margen de error $E$: $$E = z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 2.33 \cdot \frac{0.2}{\sqrt{36}} = 2.33 \cdot 0.0333... \approx 0.0777$$ Ahora calculamos los extremos del intervalo: - Límite inferior: $\bar{x} - E = 2.63 - 0.0777 = 2.5523$ - Límite superior: $\bar{x} + E = 2.63 + 0.0777 = 2.7077$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{I.C._{98\%} = (2.5523, 2.7077)}$$ Este intervalo nos indica que, con una confianza del $98\%$, la verdadera longitud media de la primera falange del pulgar se encuentra entre **2.55 cm y 2.71 cm** aproximadamente.