Caudal de agua y volumen total

**a) ¿Cuánto tiempo está entrando agua al depósito?** El agua entra al depósito mientras el caudal sea positivo, es decir, mientras $f(t) \gt 0$. Al ser una parábola invertida (el coeficiente de $t^2$ es negativo), debemos encontrar los puntos donde la función corta al eje de abscisas ($f(t) = 0$). Resolvemos la ecuación de segundo grado incompleta: $$-t^2 + 20t = 0$$ Factorizamos sacando factor común $t$: $$t(-t + 20) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $t = 0$ minutos. 2. $-t + 20 = 0 \implies t = 20$ minutos. La función es positiva en el intervalo $(0, 20)$. Por tanto, el agua entra desde que comienza el chaparrón hasta los 20 minutos. 💡 **Tip:** En problemas de contexto real, el tiempo no puede ser negativo, por lo que el dominio físico de la función es $t \in [0, 20]$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El agua está entrando durante 20 minutos.}}$$

**b) ¿Cuándo es máximo el caudal que entra? ¿Cuánto es ese caudal máximo?** Para encontrar el máximo de la función caudal $f(t)$, calculamos su derivada primera y la igualamos a cero: $$f'(t) = -2t + 20$$ Igualamos a cero para hallar el punto crítico: $$-2t + 20 = 0 \implies 2t = 20 \implies t = 10 \text{ minutos.}$$ Para verificar que es un máximo, estudiamos el signo de la derivada a ambos lados de $t = 10$: $$\begin{array}{c|ccc} t & (0,10) & 10 & (10,20)\\ \hline f'(t) & + & 0 & -\\ \text{Caudal} & \text{Creciendo} & \text{Máximo} & \text{Decreciendo} \end{array}$$ Ahora calculamos el valor del caudal en ese instante sustituyendo $t = 10$ en la función original $f(t)$: $$f(10) = -(10)^2 + 20(10) = -100 + 200 = 100 \text{ litros/minuto.}$$ 💡 **Tip:** Al ser una parábola de la forma $y = ax^2 + bx + c$, el máximo siempre se encuentra en el vértice, cuya abscisa es $t_v = \frac{-b}{2a}$. En este caso, $t_v = \frac{-20}{2(-1)} = 10$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{El caudal es máximo a los 10 minutos y es de 100 litros/minuto.}}$$

**c) ¿Cuántos litros se han recogido tras el chaparrón?** La cantidad total de litros recogidos es la suma (integral) de todos los caudales instantáneos a lo largo del tiempo que dura el chaparrón (de $t = 0$ a $t = 20$). Calculamos la integral definida: $$V = \int_{0}^{20} (-t^2 + 20t) \, dt$$ Primero hallamos la primitiva: $$\int (-t^2 + 20t) \, dt = -\frac{t^3}{3} + \frac{20t^2}{2} = -\frac{t^3}{3} + 10t^2$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$V = \left[ -\frac{t^3}{3} + 10t^2 \right]_{0}^{20}$$ $$V = \left( -\frac{20^3}{3} + 10(20)^2 \right) - \left( -\frac{0^3}{3} + 10(0)^2 \right)$$ $$V = \left( -\frac{8000}{3} + 10(400) \right) - 0 = -\frac{8000}{3} + 4000$$ $$V = \frac{-8000 + 12000}{3} = \frac{4000}{3} \approx 1333,33 \text{ litros.}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral definida de una función de ritmo o razón de cambio (como el caudal) nos da el cambio total acumulado de la magnitud (en este caso, el volumen). ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se han recogido } \frac{4000}{3} \text{ litros (aprox. 1333,33 l).}}$$