Optimización de la producción en una pastelería

**a) Plantear el problema y representar la región factible.** Primero, definimos las variables de decisión que representan las incógnitas del problema: - $x$: número de unidades de roscones del tipo A. - $y$: número de unidades de roscones del tipo B. La función que queremos maximizar son los ingresos totales, que llamaremos $I(x, y)$: $$I(x, y) = 10x + 14y$$ 💡 **Tip:** En los problemas de programación lineal, siempre empieza identificando qué representan $x$ e $y$ y cuál es el beneficio o coste que se busca optimizar.

A partir de los datos del enunciado, establecemos las limitaciones o restricciones: 1. **Huevos:** $5x + 8y \le 400$ (Disponemos de un máximo de 400 huevos). 2. **Harina:** $1.5x + 4y \le 160$ (Disponemos de un máximo de 160 kg de harina). 3. **Mínimo tipo A:** $x \ge 16$ (Debemos fabricar al menos 16 unidades del tipo A). 4. **No negatividad:** $y \ge 0$ (No se pueden fabricar cantidades negativas). El sistema de inecuaciones es: $$\begin{cases} 5x + 8y \le 400 \\ 1.5x + 4y \le 160 \\ x \ge 16 \\ y \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** No olvides nunca las condiciones de no negatividad ($x, y \ge 0$), aunque a veces una restricción mayor (como $x \ge 16$) ya la incluya implícitamente.

Para representar la región factible, dibujamos las rectas asociadas a cada restricción y determinamos el semiplano correspondiente: - **Recta 1 ($5x + 8y = 400$):** Pasa por $(0, 50)$ y $(80, 0)$. - **Recta 2 ($1.5x + 4y = 160$):** Pasa por $(0, 40)$ y $(106.67, 0)$. - **Recta 3 ($x = 16$):** Es una recta vertical que pasa por $x=16$. - **Recta 4 ($y = 0$):** Es el eje de abscisas (Eje $X$). La región factible es el polígono sombreado cuyos vértices calcularemos en el siguiente paso.

Calculamos los puntos de intersección de las rectas que limitan la región: - **Vértice $A$:** Intersección de $x = 16$ e $y = 0 \implies \mathbf{A(16, 0)}$. - **Vértice $B$:** Intersección de $x = 16$ y $1.5x + 4y = 160$: $1.5(16) + 4y = 160 \implies 24 + 4y = 160 \implies 4y = 136 \implies y = 34 \implies \mathbf{B(16, 34)}$. - **Vértice $C$:** Intersección de $1.5x + 4y = 160$ y $5x + 8y = 400$: Multiplicamos la primera por $-2$: $-3x - 8y = -320$. Sumamos a la segunda: $2x = 80 \implies x = 40$. Sustituimos $x$: $5(40) + 8y = 400 \implies 200 + 8y = 400 \implies 8y = 200 \implies y = 25 \implies \mathbf{C(40, 25)}$. - **Vértice $D$:** Intersección de $5x + 8y = 400$ e $y = 0 \implies 5x = 400 \implies x = 80 \implies \mathbf{D(80, 0)}$.

**b) ¿Cuál es la producción que maximiza los ingresos?** Evaluamos la función objetivo $I(x, y) = 10x + 14y$ en cada vértice: $$\begin{array}{c|c|c} \text{Vértice } (x, y) & I(x, y) = 10x + 14y & \text{Ingreso (€)} \\ \hline A(16, 0) & 10(16) + 14(0) & 160 \\ B(16, 34) & 10(16) + 14(34) & 636 \\ C(40, 25) & 10(40) + 14(25) & 750 \\ \mathbf{D(80, 0)} & 10(80) + 14(0) & \mathbf{800} \end{array}$$ El valor máximo se obtiene en el punto $D(80, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Se deben producir 80 roscones del tipo A y 0 del tipo B para un ingreso máximo de 800€}}$$

**c) Con la producción que maximiza los ingresos, ¿se gasta toda la harina?** La producción óptima es de $x = 80$ y $y = 0$. Calculamos la harina utilizada sustituyendo estos valores en la restricción de harina ($1.5x + 4y$): $$\text{Harina gastada} = 1.5(80) + 4(0) = 120 + 0 = 120 \text{ kilos.}$$ Como el total de harina disponible era de 160 kilos: $$\text{Harina sobrante} = 160 - 120 = 40 \text{ kilos.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No se gasta toda la harina, sobran 40 kg.}}$$