Programación lineal: representación de recinto y optimización

**a) (1 punto) Represéntelo gráficamente.** Para representar el recinto, primero transformamos cada inecuación en una igualdad para obtener las rectas que limitan la región. Luego, determinaremos el semiplano que cumple cada condición. 1. **Recta $r_1$:** $x + y = 3$. Si $x=0, y=3$; si $y=0, x=3$. Pasa por $(0,3)$ y $(3,0)$. Como la inecuación es $x+y \le 3$, el semiplano es el que contiene al origen $(0,0)$ ya que $0+0 \le 3$. 2. **Recta $r_2$:** $-x + y = 3$. Si $x=0, y=3$; si $y=0, x=-3$. Pasa por $(0,3)$ y $(-3,0)$. Probando el origen: $-0+0 \le 3$, por lo que también incluye al $(0,0)$. 3. **Recta $r_3$:** $x = 2$. Es una recta vertical que pasa por $x=2$. La condición $x \le 2$ indica la zona a la izquierda de la recta. 4. **Recta $r_4$:** $y = 0$. Es el eje de abscisas ($X$). La condición $y \ge 0$ indica el semiplano superior. 💡 **Tip:** Para dibujar una recta rápidamente, busca los puntos de corte con los ejes (haciendo $x=0$ y luego $y=0$). Para saber qué lado sombrear, sustituye un punto cualquiera (el $(0,0)$ es el más fácil) en la inecuación. El recinto es la intersección de estos cuatro semiplanos.

**b) (1 punto) Calcule los vértices de dicho recinto.** Los vértices se obtienen resolviendo los sistemas de ecuaciones formados por las rectas que se cortan en cada esquina del recinto: * **Vértice $A$** (Intersección de $r_1$ y $r_2$): $$\begin{cases} x + y = 3 \\ -x + y = 3 \end{cases}$$ Sumando ambas ecuaciones: $2y = 6 \implies y = 3$. Sustituyendo en la primera: $x + 3 = 3 \implies x = 0$. $\boxed{A(0, 3)}$ * **Vértice $B$** (Intersección de $r_1$ y $r_3$): $$\begin{cases} x + y = 3 \\ x = 2 \end{cases} \implies 2 + y = 3 \implies y = 1.$$ $\boxed{B(2, 1)}$ * **Vértice $C$** (Intersección de $r_3$ y $r_4$): $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 0 \end{cases}$$ $\boxed{C(2, 0)}$ * **Vértice $D$** (Intersección de $r_4$ y $r_2$): $$\begin{cases} y = 0 \\ -x + y = 3 \end{cases} \implies -x + 0 = 3 \implies x = -3.$$ $\boxed{D(-3, 0)}$ 💡 **Tip:** Siempre verifica visualmente que los vértices calculados coinciden con los puntos de corte en tu gráfica del apartado anterior.

**c) (0.5 puntos) ¿Cuáles son los valores máximo y mínimo de la función objetivo $F(x, y) = -2x - y$? ¿En qué puntos se alcanzan dichos valores?** Según el teorema fundamental de la programación lineal, el máximo y el mínimo de una función objetivo en un recinto convexo se encuentran en uno de sus vértices. Evaluamos $F(x, y) = -2x - y$ en cada uno: * $F(A) = F(0, 3) = -2(0) - 3 = -3$ * $F(B) = F(2, 1) = -2(2) - 1 = -4 - 1 = -5$ * $F(C) = F(2, 0) = -2(2) - 0 = -4$ * $F(D) = F(-3, 0) = -2(-3) - 0 = 6$ Comparando los resultados: - El valor más alto es $6$, que corresponde al máximo. - El valor más bajo es $-5$, que corresponde al mínimo. 💡 **Tip:** Si el recinto es acotado (como en este caso), siempre existen tanto el máximo como el mínimo absoluto. ✅ **Resultados finales:** $$\boxed{\text{Máximo: } 6 \text{ en el punto } D(-3, 0)}$$ $$\boxed{\text{Mínimo: } -5 \text{ en el punto } B(2, 1)}$$