Estudio de rentabilidad y beneficio en publicidad

**a) (1 punto) ¿Para qué valores de la inversión la empresa tiene pérdidas?** En este contexto, la empresa tiene pérdidas cuando el beneficio es negativo, es decir, cuando $B(x) \lt 0$. Para resolver la inecuación $0.5x^2 - 4x + 6 \lt 0$, primero hallamos las raíces de la ecuación de segundo grado asociada: $$0.5x^2 - 4x + 6 = 0$$ Usamos la fórmula general: $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(0.5)(6)}}{2(0.5)}$$ $$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{1} = 4 \pm \sqrt{4} = 4 \pm 2$$ Obtenemos dos valores: - $x_1 = 4 - 2 = 2$ - $x_2 = 4 + 2 = 6$ 💡 **Tip:** Recuerda que una función cuadrática $ax^2 + bx + c$ con $a \gt 0$ representa una parábola abierta hacia arriba (forma de 'U'). Los valores negativos estarán entre las dos raíces.

Analizamos el signo de $B(x)$ en el intervalo de estudio $[0, 10]$ dividiéndolo según las raíces halladas: $$\begin{array}{c|ccc} x & [0, 2) & (2, 6) & (6, 10] \\\hline B(x) & + & - & + \end{array}$$ - Si $x \in (2, 6)$, entonces $B(x) \lt 0$, lo que implica pérdidas. Dado que $x$ representa la inversión en miles de euros, la empresa tiene pérdidas para inversiones superiores a 2000 € e inferiores a 6000 €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Inversión } x \in (2, 6) \text{ (entre 2000 y 6000 euros)}}$$

**b) (1 punto) ¿Cuánto tiene que invertir la empresa en publicidad para obtener el mayor beneficio posible?** Para encontrar el máximo de la función $B(x) = 0.5x^2 - 4x + 6$ en el intervalo cerrado $[0, 10]$, debemos evaluar: 1. Los puntos donde la derivada es cero (extremos relativos). 2. Los extremos del intervalo ($x=0$ y $x=10$). Calculamos la derivada: $$B'(x) = 0.5 \cdot 2x - 4 = x - 4$$ Igualamos a cero: $$x - 4 = 0 \implies x = 4$$ Sin embargo, analizando la segunda derivada $B''(x) = 1 \gt 0$, vemos que en $x=4$ hay un **mínimo relativo** (donde el beneficio es $-2$, es decir, la pérdida máxima). 💡 **Tip:** Si una parábola abre hacia arriba, el vértice es un mínimo. El máximo absoluto en un intervalo cerrado siempre estará en uno de los extremos del intervalo.

Evaluamos la función en los extremos del intervalo $[0, 10]$: - Para $x = 0$: $B(0) = 0.5(0)^2 - 4(0) + 6 = 6$ mil euros. - Para $x = 10$: $B(10) = 0.5(10)^2 - 4(10) + 6 = 50 - 40 + 6 = 16$ mil euros. Comparando los valores: - $B(0) = 6$ - $B(4) = -2$ - $B(10) = 16$ El mayor beneficio posible es de 16000 € y se obtiene cuando la inversión es de 10000 €. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Debe invertir } 10 \text{ (10000 euros)}}$$

**c) (0.5 puntos) ¿Cuál es el beneficio si no se invierte nada en publicidad? ¿Hay algún otro valor de la inversión para el cual se obtiene el mismo beneficio?** Si no se invierte nada, $x = 0$: $$B(0) = 0.5(0)^2 - 4(0) + 6 = 6$$ El beneficio es de **6000 euros**. Para ver si hay otro valor con el mismo beneficio, igualamos la función a 6: $$0.5x^2 - 4x + 6 = 6$$ $$0.5x^2 - 4x = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x(0.5x - 4) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $x = 0$ 2. $0.5x - 4 = 0 \implies 0.5x = 4 \implies x = \frac{4}{0.5} = 8$ Como $x=8$ está dentro de nuestro intervalo $[0, 10]$, es una solución válida. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Beneficio inicial: 6000 €. Se obtiene el mismo beneficio con } x=8 \text{ (8000 €)}}$$