Cálculo de probabilidades: unión, intersección contraria y condicionada

**a) (0.75 puntos) La probabilidad de que se verifique alguno de los dos sucesos.** El enunciado nos pide calcular la probabilidad de la unión de los sucesos $A$ y $B$, es decir, $P(A \cup B)$. Para calcular la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera, utilizamos la fórmula general: $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos proporcionados en el enunciado: $$P(A \cup B) = \frac{2}{3} + \frac{3}{4} - \frac{5}{8}$$ 💡 **Tip:** Para sumar y restar fracciones con distinto denominador, debemos encontrar el mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los denominadores $(3, 4, 8)$, que en este caso es $24$. Convertimos las fracciones: $$P(A \cup B) = \frac{16}{24} + \frac{18}{24} - \frac{15}{24}$$ $$P(A \cup B) = \frac{16 + 18 - 15}{24} = \frac{19}{24}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A \cup B) = \frac{19}{24} \approx 0.7917}$$

**b) (0.75 puntos) La probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos sucesos.** Que no ocurra ninguno de los dos sucesos se expresa matemáticamente como la probabilidad de la intersección de sus complementarios: $P(\bar{A} \cap \bar{B})$. Según las **Leyes de De Morgan**, la intersección de los complementarios es igual al complementario de la unión: $$\bar{A} \cap \bar{B} = \overline{A \cup B}$$ Por lo tanto: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\overline{A \cup B})$$ Utilizando la propiedad del suceso contrario: $$P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$$ Sustituimos el valor obtenido en el apartado anterior: $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - \frac{19}{24}$$ $$P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{24}{24} - \frac{19}{24} = \frac{5}{24}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que "no ocurra ninguno" es lo mismo que decir "lo contrario de que ocurra al menos uno". ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(\bar{A} \cap \bar{B}) = \frac{5}{24} \approx 0.2083}$$

**c) (1 punto) La probabilidad de que ocurra $A$ si se ha verificado $B$.** Este apartado nos pide calcular la probabilidad de $A$ condicionada a $B$, que se denota como $P(A | B)$. La fórmula de la probabilidad condicionada es: $$P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores que nos da el enunciado: $$P(A | B) = \frac{\frac{5}{8}}{\frac{3}{4}}$$ Para resolver esta división de fracciones, multiplicamos en cruz o multiplicamos por la inversa: $$P(A | B) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{24}$$ Simplificamos la fracción dividiendo numerador y denominador entre $4$: $$P(A | B) = \frac{5}{6}$$ 💡 **Tip:** La probabilidad condicionada $P(A|B)$ siempre mide la probabilidad de que pase el primer suceso ($A$) sabiendo con total seguridad que ya ha ocurrido el segundo ($B$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(A | B) = \frac{5}{6} \approx 0.8333}$$